Кіріспе
Кулондық соқтығысу – екі зарядталған бөлшектің өзіндік электр өрісі арқылы өзара әрекеттесетін бинарлық серпімді соқтығысуы. Кез келген кері квадрат заңына сәйкес, соқтығысқан бөлшектердің траекториясы гиперболалық Кеплер орбитасы болып табылады. Бұл типтегі соқтығысу плазмаларда кең таралған, онда бөлшектердің әдеттегі кинетикалық энергиясы соқтығысқан бөлшектердің бастапқы траекториясынан айтарлықтай ауытқуға жеткіліксіз, және көптеген соқтығысулардың күмүлативтік әсері ескеріледі. Кулондық соқтығысулардың маңыздылығын алғаш Лев Ландау 1936 жылы атап көрсетті, сондай-ақ ол Ландау кинетикалық теңдеуі деп белгілі тиісті кинетикалық теңдеуді туынды етті.
Плазманың қарапайым математикалық өңдеуі
Плазмада Кулондық соқтығысу сирек кездеседі. Бірақ көптеген кіші бұрышты соқтығыстардың жиынтық әсері, көбінесе, сирек болатын бірнеше үлкен бұрышты соқтығыстардың әсерінен артық болады, сондықтан соқтығысу динамикасын кіші бұрылыстар шегінде қарастыру орынды. Заряды және массасы бар электронды, зарядты және одан әлдеқайда үлкен массасы бар тұйық ионды, арақашықтықта жылдамдықпен өтетіндей қарастырайық. Ең жақын арада перпендикуляр күш тең болады, ал кездесудің ұзақтығы шамамен. Осы өрнектердің массаға бөлінген көбейтіндісі перпендикуляр жылдамдықтың өзгеруіне тең:
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Бұрылыс бұрышы жылдам бөлшектерге пропорционал екенін ескеріңіз. Олар "сырғанақ" болып келеді, сондықтан көптеген тасымалдау процестерінде басымдық танытады. Жылдамдыққа сәйкес келетін өзара әрекеттесудің тиімділігі сонымен қатар, термоядролық реакциялардың өнімдері иондарды емес, электрондарды қыздыруға бейімделуіне себеп болады. Егер электр өрісі болса, жылдам электрондар аз қарсылық сезінеді және "қашу” процесінде одан да жылдам болады. Тығыздығы бар иондар өрісі арқылы өтетін электрон бір мезгілде әртүрлі соқтығысу параметрлері (ионға дейінгі қашықтық) және бағыттары бар көптеген кездесулерге түседі. Жиынтық әсерді перпендикуляр импульстің диффузиясы ретінде сипаттауға болады. Сәйкес диффузия тұрақтысы импульстің жеке өзгерістерінің квадраттарын интеграциялау арқылы табылады. Соқтығысу параметрі аралығындағы соқтығысу жылдамдығы тең, сондықтан диффузия тұрақтысы былай беріледі:
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Көрініп тұрғанындай, интеграл кіші және үлкен соқтығысу параметрлеріне қарай дивергенцияланады. Кіші соқтығысу параметрлеріндегі дивергенция анық физикалық емес, себебі осы жерде қолданылған болжамдар бойынша соңғы перпендикуляр импульс бастапқы импульстан жоғары мәнге ие бола алмайды. Жоғарыдағы бағаны тең деп белгілей отырып, соқтығысу параметрінің төменгі шегін табамыз. Біз оны үлкен бұрышты соқтығыстар үшін қиманың бағасы ретінде де қолдана аламыз. Кейбір жағдайларда кванттық механикаға байланысты қатаң төменгі шек бар, атап айтқанда электронның де Бройль толқын ұзындығы, мұнда Планк тұрақтысы. Үлкен соқтығысу параметрлерінде ион заряды ионның және басқа иондардың маңында жиналу тенденциясымен қорғалады. Сондықтан соқтығысу параметріне дейінгі жоғарғы шек шамамен Дебье ұзындығына тең болуы керек:
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Кулон логарифмі
Осылайша, интеграл жоғарғы және төменгі шектеулердің қатынасының логарифмін береді. Бұл сан Кулон логарифмі деп аталады және ол немесе символдарымен белгіленеді. Бұл кіші бұрышты соқтығысулардың үлкен бұрышты соқтығысулардан тиімдірек болуын сипаттайтын фактор. Кулон логарифмін Лев Ландау 1936 жылы тәуелсіз түрде енгізді. Қызығушылық тудыратын көптеген плазмалар үшін ол және аралығындағы мәндерді қабылдайды (Қолайлы формулалар үшін NRL Plasma formulary-ның 34 және 35 беттерін қараңыз). Соқтығысу параметрінің интегралының шектері нақты емес, бірақ бірлік шамасындағы факторлармен белгісіз, бұл теориялық белгісіздікке алып келеді. Осы себепті, көбінесе ыңғайлы таңдау жасау орынды. Бұл талдау масштабтаулар мен шамалардың реттілігін анықтайды.
Барлық соққы параметрлерін есепке ала отырып, плазмаларды математикалық өңдеу
Барлық әсер параметрлерін есепке ала отырып, N денені өңдеу бірнеше қарапайым фактілерді ескере отырып орындалуы мүмкін. Басты екеуі: (i) Жоғарыдағы перпендикуляр жылдамдықтың өзгеруі – толық Ратфорд шағылысуының 1/b-дегі ең төменгі дәрежедегі жуықтауы. Сондықтан, жоғарыдағы бұзылымдық теорияны осы толық шағылысуды қолдану арқылы да жасауға болады. Бұл есептеуді ең кішкентай әсер параметрлеріне дейін дұрыс етеді, онда осы толық шағылысу қолданылуы тиіс. (ii) Үлкен әсер параметрлері үшін Дебай экрандауының әсерін Дебай экранымен қоршалған Кулон потенциалын (Дебай ұзындығы) пайдалану арқылы ескеруге болады. Бұл үлкен әсер параметрлеріндегі жоғарыдағы айырмашылықты жояды. Жоғарыдағы Кулон логарифмі бірлікке жуық тұрақтымен өзгереді.
Тарих
1950 жылдары магниттелмеген плазмадағы соқтығысулар салдарынан болатын тасымалдауды Калифорния университетінің Берклидегі радиациялық зертханасындағы екі топ бірдей зерттеді. Олар өздерінің мақалаларында бір-бірінің нәтижелерін сілтемеледі. Бірінші сілтеме электр өрісінің амплитудасындағы бұзылыс теориясын қолдана отырып, өзара әрекеттесудің орташа өрістік бөлігін қарастырады. Сол жуықтаулар шеңберінде Balescu–Lenard теңдеуін пайдалану арқылы соқтығысу тасымалы коэффициенттерінің әлдеқайда әдемі туындысы ұсынылды (Бөл. және т.б. 7.3 және 7.4 тарауларында көрсетілген). Екінші сілтеме екі дененің соқтығысуының Рутерфорд суретін қолданады. Бірінші сілтемедегі есептеулер әсер параметрлері бөлшектер аралық қашықтықтан әлдеқайда үлкен болған жағдайда дұрыс, ал екіншісі керісінше жағдайда жұмыс істейді. Екі есептеу де әсер параметрлерінің толық диапазонына дейін кеңейтіледі, бірақ жоғарыдағы қарапайым математикалық қарастырудағы екі емес, бір ғана ad hoc шектеу енгізіледі, бірақ тасымалдау коэффициенттері оған тек логарифмдік түрде тәуелді; екі нәтиже де келіседі және диффузия тұрақтысының жоғарыда көрсетілген формуласын береді.