Введение
Кулонское столкновение — это бинарное упругое столкновение двух заряженных частиц, взаимодействующих посредством собственного электрического поля. Как и для любого закона обратных квадратов, результирующие траектории сталкивающихся частиц представляют собой гиперболическую кеплеровскую орбиту. Этот тип столкновения распространен в плазме, где типичная кинетическая энергия частиц слишком велика, чтобы вызвать значительное отклонение от первоначальных траекторий, и вместо этого учитывается кумулятивный эффект множества столкновений. Значимость кулонских столкновений впервые отметил Лев Ландау в 1936 году, который также вывел соответствующее кинетическое уравнение, известное как кинетическое уравнение Ландау.
Упрощенная математическая обработка плазмы
В плазме столкновение Кулона редко приводит к большому отклонению. Однако кумулятивный эффект множества столкновений с малыми углами часто превышает эффект нескольких столкновений с большими углами, поэтому полезно рассмотреть динамику столкновений в пределе малых отклонений. Можно рассмотреть электрон с зарядом и массой, проходящий мимо неподвижного иона с зарядом и значительно большей массой на расстоянии со скоростью. Перпендикулярная сила в момент наибольшего сближения равна , а длительность взаимодействия составляет примерно. Произведение этих выражений, деленное на массу, представляет собой изменение перпендикулярной скорости:
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Обратите внимание, что угол отклонения пропорционален скорости. Быстрые частицы обладают большей «скользкостью» и поэтому доминируют во многих транспортных процессах. Эффективность взаимодействий с согласованными скоростями также объясняет, почему продукты термоядерного синтеза склонны нагревать электроны, а не (как было бы желательно) ионы. При наличии электрического поля более быстрые электроны испытывают меньшее сопротивление и ускоряются в процессе «убегания». Проходя через поле ионов с плотностью , электрон одновременно испытывает множество таких столкновений с различными параметрами удара (расстоянием до иона) и направлениями. Кумулятивный эффект можно описать как диффузию перпендикулярного импульса. Соответствующая константа диффузии находится путем интегрирования квадратов отдельных изменений импульса. Частота столкновений с параметром удара между и равна , поэтому константа диффузии определяется как. Очевидно, интеграл расходится как при малых, так и при больших параметрах удара. Расходимость при малых параметрах удара явно нефизична, поскольку при сделанных здесь допущениях конечный перпендикулярный импульс не может превышать начальный импульс. Приравнивая вышеуказанную оценку к , мы находим нижний предел параметра удара, который составляет примерно.
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Мы также можем использовать это значение в качестве оценки сечения для столкновений с большими углами. При определенных условиях существует более строгий нижний предел, обусловленный квантовой механикой, а именно длина волны де Бройля электрона, где — постоянная Планка. При больших параметрах удара заряд иона экранируется тенденцией электронов к скоплению вблизи иона и стремлением других ионов избегать его. Таким образом, верхний предел параметра удара должен быть приблизительно равен длине Дебая:
Note that the deflection angle is proportional to Fast particles are "slippery" and thus dominate many transport processes. The efficiency of velocity matched interactions is also the reason that fusion products tend to heat the electrons rather than (as would be desirable) the ions. If an electric field is present, the faster electrons feel less drag and become even faster in a "run away" process. In passing through a field of ions with density , an electron will have many such encounters simultaneously, with various impact parameters (distance to the ion) and directions. The cumulative effect can be described as a diffusion of the perpendicular momentum. The corresponding diffusion constant is found by integrating the squares of the individual changes in momentum. The rate of collisions with impact parameter between and is , so the diffusion constant is given by
Obviously the integral diverges toward both small and large impact parameters. The divergence at small impact parameters is clearly unphysical since under the assumptions used here, the final perpendicular momentum cannot take on a value higher than the initial momentum. Setting the above estimate for equal to , we find the lower cut off to the impact parameter to be about
We can also use as an estimate of the cross section for large angle collisions. Under some conditions there is a more stringent lower limit due to quantum mechanics, namely the de Broglie wavelength of the electron, where is Planck's constant. At large impact parameters, the charge of the ion is shielded by the tendency of electrons to cluster in the neighborhood of the ion and other ions to avoid it. The upper cut off to the impact parameter should thus be approximately equal to the Debye length:
Логарифм Кулона
Таким образом, интеграл дает логарифм отношения верхнего и нижнего пределов. Это число известно как кулоновский логарифм и обозначается как Γ или Λ. Это фактор, показывающий, во сколько раз столкновения на малых углах эффективнее столкновений на больших углах. Кулоновский логарифм был введен независимо Львом Ландау в 1936 году. Для многих представляющих интерес плазм он принимает значения между 10 и 20 (для удобных формул см. страницы 34 и 35 формуляра NRL Plasma). Пределы интеграла по параметру удара не являются четкими, а имеют неопределенность порядка единицы, что приводит к теоретическим неопределенностям того же порядка. По этой причине часто оправдано просто выбирать удобное значение. Проведенный здесь анализ дает зависимости и порядки величин.
Математическая обработка плазмы с учетом всех параметров удара
Обработку N тел, учитывающую все параметры прицеливания, можно осуществить, принимая во внимание несколько простых фактов. Основные два из них: (i) Вышеупомянутое изменение перпендикулярной скорости является приближением наименьшего порядка по 1/b полного рассеяния Резерфорда. Следовательно, вышеупомянутую теорию возмущений также можно реализовать, используя это полное рассеяние. Это обеспечивает корректность расчётов вплоть до наименьших параметров прицеливания, где необходимо использовать именно это полное рассеяние. (ii) Влияние дебаевского экранирования при больших параметрах прицеливания можно учесть, используя кулоновский потенциал, экранированный по Дебаю (длина дебаевской экранировки). Это устраняет вышеупомянутую расходимость при больших параметрах прицеливания. Вышеупомянутый кулоновский логарифм в итоге модифицируется постоянной порядка единицы.
История
В 1950-х годах транспорт, обусловленный столкновениями в немагнитизированной плазме, одновременно изучался двумя группами в Лаборатории излучений Калифорнийского университета в Беркли. Они ссылались на результаты друг друга в своих публикациях. Первая работа рассматривает среднюю часть поля взаимодействия, используя теорию возмущений по амплитуде электрического поля. В рамках тех же приближений было получено более изящное выведение коэффициентов транспортного столкновения с использованием уравнения Балеску-Ленарда (см. раздел 8.4 и разделы 7.3 и 7.4). Вторая работа использует рутерфордовскую картину двухчастичных столкновений. Расчет, представленный в первой работе, верен для параметров удара, значительно превышающих расстояние между частицами, в то время как расчеты из второй работы применимы в противополочном случае. Оба расчета расширены на весь диапазон параметров удара путем введения каждого отдельного ad hoc ограничения, а не двух, как в вышеуказанном упрощенном математическом рассмотрении, однако транспортные коэффициенты зависят от них лишь логарифмически; оба результата согласуются и приводят к вышеуказанному выражению для коэффициента диффузии.