Кіріспе
Математикалық логикада консервативті кеңейту – теорияның теоремаларды дәлелдеуге ыңғайлы, бірақ бастапқы теорияның тілінде жаңа теоремаларды дәлелдемейтін супертеориясы. Сол сияқты, консервативті емес кеңейту – консервативті емес супертеория, ол түпнұсқа теориядан көбірек теоремаларды дәлелдей алады. Формальды айтқанда, теория – егер теорияның әрбір теоремасы теорияның теоремасы болса және теорияның тіліндегі теорияның кез келген теоремасы бұрыннан теорияның теоремасы болса, онда теорияның консервативті (дәлелдеу теориялық) кеңейтімі болып табылады. Жалпы алғанда, егер – және теорияларының ортақ тіліндегі формулалар жиыны болса, онда егер теорияда дәлелденетін әрбір формула теорияда да дәлелденсе, онда теория теорияға консервативті болады.
More generally, if is a set of formulas in the common language of and , then is conservative over if every formula from provable in is also provable in
Note that a conservative extension of a consistent theory is consistent. If it were not, then by the principle of explosion, every formula in the language of would be a theorem of , so every formula in the language of would be a theorem of , so would not be consistent. Hence, conservative extensions do not bear the risk of introducing new inconsistencies. This can also be seen as a methodology for writing and structuring large theories: start with a theory, , that is known (or assumed) to be consistent, and successively build conservative extensions , , of it. Recently, conservative extensions have been used for defining a notion of module for ontologies: if an ontology is formalized as a logical theory, a subtheory is a module if the whole ontology is a conservative extension of the subtheory. An extension which is not conservative may be called a proper extension.
Консервативті кеңейту тұрақты теорияның кеңейтімі тұрақты болады. Егер олай болмаса, жарылыс принципі бойынша, теорияның тіліндегі барлық формула теорияда теорема болып табылады, сондықтан теорияның тіліндегі барлық формула теорияда теорема болып табылады, демек теория тұрақты болмайды. Осылайша, консервативті кеңейтулер жаңа қайшылықтар енгізу қаупін тудырмайды. Бұл үлкен теорияларды жазу және құрылымдау әдістемесі ретінде де қарастырылуы мүмкін: тұрақты екені белгілі (немесе болжамдалған) теориядан бастап, одан кейін консервативті кеңейтулерді бірінен соң бірі құраңыз. Жақында консервативті кеңейтулер онтологиялар үшін модуль ұғымын анықтау үшін қолданылды: егер онтология логикалық теория ретінде формалдануы мүмкін болса, онда субтеория бүкіл онтология субтеорияның консервативті кеңейтімі болса, модуль болып табылады. Консервативті емес кеңейтуді нақты кеңейту деп атауға болады.
More generally, if is a set of formulas in the common language of and , then is conservative over if every formula from provable in is also provable in
Note that a conservative extension of a consistent theory is consistent. If it were not, then by the principle of explosion, every formula in the language of would be a theorem of , so every formula in the language of would be a theorem of , so would not be consistent. Hence, conservative extensions do not bear the risk of introducing new inconsistencies. This can also be seen as a methodology for writing and structuring large theories: start with a theory, , that is known (or assumed) to be consistent, and successively build conservative extensions , , of it. Recently, conservative extensions have been used for defining a notion of module for ontologies: if an ontology is formalized as a logical theory, a subtheory is a module if the whole ontology is a conservative extension of the subtheory. An extension which is not conservative may be called a proper extension.
Мысалдар
, кері математикада зерттелетін екінші реттік арифметиканың кіші жүйесі, бірінші реттік Пеано арифметикасының консервативті кеңейтімі болып табылады. Екінші реттік арифметиканың кіші жүйелері және консервативті түрде болып табылады. кіші жүйесі – консервативті кеңейтім, ал консервативті түрде (примитивтік рекурсивті арифметика) үстінен консервативті. Шоенфилдтің абсолюттілік теоремасы бойынша, – консервативті кеңейтім. Континуумдық гипотезасы бар – консервативті кеңейтім.
Модель-теориялық консервативті кеңейту
Модельдік-теориялық құралдармен күшті түсінік алынады: теорияның кеңейтілуі модельдік-теориялық тұрғыдан консервативті болады, егер және теорияның әрбір моделі теорияның моделіне кеңейтілуге мүмкін болса. Кез келген модельдік-теориялық консервативті кеңейтілім жоғарыда аталған мағынада консервативті кеңейтілім болып табылады. Модельдік-теориялық ұғымның дәлелдеу-теориялық ұғымға қарағанда артықшылығы – ол қолданылып жатқан тілге онша тәуелді емес; алайда, модельдік-теориялық консервативтілікті анықтау көбінесе қиынға соғады.