Жер асты су ағыны теңдеуі және оның математикалық моделі
Groundwater flow equation
Жер асты су ағыны теңдеуі, гидрогеологиядағы маңызды математикалық қатынас. Судың ағысын, Darcy заңы арқылы есептеу, түрлері мен қолданысы туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Гидрогеологияда қолданылатын жер асты суы ағысы теңдеуі – бұл су жинағыш арқылы жер асты суының ағысын сипаттауға арналған математикалық байланыс. Жер асты суының уақытша ағысы қатты денедегі жылу ағынын сипаттау үшін жылу алмасуда қолданылатын диффузия теңдеуінің бір түрімен сипатталады (жылу өткізгіштік). Жер асты суының тұрақты ағысы Лаплас теңдеуінің бір түрімен сипатталады, ол потенциалдық ағыстың түрі болып табылады және көптеген салаларда ұқсас нәрселер кездеседі. Жер асты суы ағысы теңдеуі көбінесе кішкентай өкілдік элементтік көлем (REV) үшін туындытылады, онда ортаның қасиеттері тұрақты деп есептеледі. Осы кішкентай көлемге келіп-кеткен судың массалық балансы есептеледі, ал байланыстағы ағын шарттары Дарси заңы деп аталатын құрылымдық теңдеуді қолдану арқылы су басы ретінде өрнектеледі, бұл ағынның ламинарлық болуын қажет етеді. Басқа тәсілдер агенттік модельдерге негізделген, мысалы, карстық немесе жарықтанған тау жыныстары (яғни, жанартаулық) сияқты күрделі су жинағыштардың әсерін ескеруге мүмкіндік береді.
Used in hydrogeology, the groundwater flow equation is the mathematical relationship which is used to describe the flow of groundwater through an aquifer. The transient flow of groundwater is described by a form of the diffusion equation, similar to that used in heat transfer to describe the flow of heat in a solid (heat conduction). The steady state flow of groundwater is described by a form of the Laplace equation, which is a form of potential flow and has analogs in numerous fields. The groundwater flow equation is often derived for a small representative elemental volume (REV), where the properties of the medium are assumed to be effectively constant. A mass balance is done on the water flowing in and out of this small volume, the flux terms in the relationship being expressed in terms of head by using the constitutive equation called Darcy's law, which requires that the flow is laminar. Other approaches are based on Agent Based Models to incorporate the effect of complex aquifers such as karstic or fractured rocks (i. e. volcanic)
Массалық тепе-теңдік
Массалық тепе-теңдік жүргізілуі керек және Дарси заңымен бірге пайдаланылып, жер асты суларының уақытқа қарай өзгеретін ағысының теңдеуіне жетуге болады. Бұл тепе-теңдік, жылу теңдеуіне жету үшін жылу алмасуда қолданылатын энергия тепе-теңдігіне ұқсас. Бұл, қарапайым есептеу мәлімдемесі, яғни белгілі бір бақылау көлемі үшін, көздер мен шығындардан басқа, масса жаратылмайды немесе жойылмайды. Массаның сақталу принципі бойынша, белгілі бір уақыт аралығында (Δt), шекара арқылы кіретін масса мен шекара арқылы шығатын массаның, сондай-ақ көлем ішіндегі көздердің арасындағы айырмашылық – сақталыстағы өзгеріске тең болады.
A mass balance must be performed, and used along with Darcy's law, to arrive at the transient groundwater flow equation. This balance is analogous to the energy balance used in heat transfer to arrive at the heat equation. It is simply a statement of accounting, that for a given control volume, aside from sources or sinks, mass cannot be created or destroyed. The conservation of mass states that, for a given increment of time (Δt), the difference between the mass flowing in across the boundaries, the mass flowing out across the boundaries, and the sources within the volume, is the change in storage.
Төртбұрышты картезиялық координаттар
Әсіресе төртбұрышты торлы шекті айырмашылық модельдерін (мысалы, USGS жасаған MODFLOW) қолданғанда, біз декартикалық координаттармен жұмыс жасаймыз. Бұл координаттарда жалпы Лаплас операторы (үш өлшемді ағын үшін) нақты түрде келесідей болады:
Especially when using rectangular grid finite difference models (e. g. MODFLOW, made by the USGS), we deal with Cartesian coordinates. In these coordinates the general Laplacian operator becomes (for three dimensional flow) specifically
MODFLOW коды жер асты суларының ағын теңдеуінің ортогональды 3D түрін дискреттеуді және модельдеуді жүзеге асырады. Дегенмен, егер пайдаланушы қаласа, «квази-3D» режимінде жұмыс істеуге мүмкіндік бар; бұл жағдайда модель k және Ss емес, тік бойынан орташаланған T және S шамаларымен жұмыс жасайды. «Квази-3D» режимінде ағын 2D көлденең қабаттар арасында сіңіру ұғымы бойынша есептеледі.
MODFLOW code discretizes and simulates an orthogonal 3 D form of the governing groundwater flow equation. However, it has an option to run in a "quasi 3D" mode if the user wishes to do so; in this case the model deals with the vertically averaged T and S, rather than k and Ss. In the quasi 3D mode, flow is calculated between 2D horizontal layers using the concept of leakage.
Дөңгелек цилиндрлік координаттар
Тағы бір пайдалы координаттар жүйесі – 3D цилиндрлік координаттар (әдетте, сорғы ұңғымасы бастауында орналасқан сызықтық көз болып табылады, z осіне параллель, бұл радиалды ағынды шоғырландырады). Мұндай жағдайларда жоғарыдағы теңдеу (r – радиалды қашықтық, θ – бұрыш) мынадай болады.
Another useful coordinate system is 3D cylindrical coordinates (typically where a pumping well is a line source located at the origin — parallel to the z axis — causing converging radial flow). Under these conditions the above equation becomes (r being radial distance and θ being angle),
Лапластың теңдеуі (тұрақты күйдегі ағын)
Егер сулы горизонттың қайта толу шекаралық шарттары болса, тұрақты күйге жетуі мүмкін (немесе көптеген жағдайларда шамамен пайдалануға болады), ал диффузия теңдеуі (жоғарыда) Лаплас теңдеуіне дейін қарапайымдастырылады. Бұл теңдеу гидравликалық бас гармониялық функция екенін және басқа салаларда көптеген ұқсас жағдайлар бар екенін көрсетеді. Лаплас теңдеуін жоғарыда айтылған сияқты ұғымдарды қолдана отырып, бірақ тұрақты ағын өрісінің қосымша талаптарымен әдістер арқылы шешуге болады. Құрылыс және топырақ механикасында осы теңдеуді шешудің кең таралған әдісі – ағын желілерін (флонеттерді) графикалық түрде салу; гидравликалық бас және ағын функциясының изолиниялары қисық сызықты тор құрайды, бұл күрделі геометрияларды шамамен шешуге мүмкіндік береді. Сору ұңғымасына тұрақты ағын (шын мәнінде ешқашан болмайтын, бірақ кейде пайдалы шамамен есептеу) көбінесе Тием шешімі деп аталады.
If the aquifer has recharging boundary conditions a steady state may be reached (or it may be used as an approximation in many cases), and the diffusion equation (above) simplifies to the Laplace equation. This equation states that hydraulic head is a harmonic function, and has many analogs in other fields. The Laplace equation can be solved using techniques, using similar assumptions stated above, but with the additional requirements of a steady state flow field. A common method for solution of this equations in civil engineering and soil mechanics is to use the graphical technique of drawing flownets; where contour lines of hydraulic head and the stream function make a curvilinear grid, allowing complex geometries to be solved approximately. Steady state flow to a pumping well (which never truly occurs, but is sometimes a useful approximation) is commonly called the Thiem solution.