Введение

Уравнение потока грунтовых вод, используемое в гидрогеологии, — это математическое соотношение, применяемое для описания движения грунтовых вод в водоносном горизонте. Переменное во времени течение грунтовых вод описывается формой уравнения диффузии, аналогичной используемой в теплопередаче для описания потока тепла в твердом теле (теплопроводности). Установившееся течение грунтовых вод описывается формой уравнения Лапласа, являющейся разновидностью потенциального течения и имеющей аналоги в различных областях науки. Уравнение потока грунтовых вод часто выводится для небольшого репрезентативного элементарного объема (REV), в котором свойства среды предполагаются практически постоянными. Для этого объема составляется уравнение материального баланса для воды, входящей и выходящей из него, а потоки в этом уравнении выражаются через напоры с использованием установленного соотношения, называемого законом Дарси, который предполагает ламинарный характер течения. Альтернативные подходы основаны на агентных моделях для учета влияния сложных водоносных горизонтов, таких как карстовые или трещиноватые породы (например, вулканические).

Массовый баланс

Для получения уравнения нестационарного потока грунтовых вод необходимо выполнить баланс массы и использовать его совместно с законом Дарси. Этот баланс аналогичен энергетическому балансу, используемому в теплопередаче для вывода уравнения теплопроводности. По сути, это утверждение о сохранении, согласно которому для заданного контрольного объема, за исключением источников и поглотителей, масса не может быть создана или уничтожена. Закон сохранения массы утверждает, что для заданного приращения времени (Δt) разность между массой, поступающей через границы, массой, вытекающей через границы, и источниками внутри объема равна изменению запаса массы.

Прямоугольные картезианские координаты

Особенно при использовании моделей конечных разностей на прямоугольной сетке (например, MODFLOW, разработанной USGS), мы работаем с декартовыми координатами. В этих координатах общий оператор Лапласа принимает вид (для трехмерного потока)

Код MODFLOW дискретизирует и моделирует ортогональную трехмерную форму основного уравнения потока подземных вод. Однако, предусмотрена возможность работы в "квази-3D" режиме по желанию пользователя; в этом случае модель оперирует вертикально усредненными значениями T и S, а не k и Ss. В квази-3D режиме поток рассчитывается между двухмерными горизонтальными слоями с использованием концепции фильтрации.

Циркулярные цилиндрические координаты

Другая полезная система координат — это трёхмерные цилиндрические координаты (обычно, где насосная скважина рассматривается как линейный источник, расположенный в начале координат — параллельно оси z — вызывающий сходящийся радиальный поток). В этих условиях вышеприведённое уравнение принимает вид (где r — радиальное расстояние, а θ — угол),

Уравнение Лапласа (поток в стационарном состоянии)

Если водоносный горизонт имеет условия подпитки на границах, может быть достигнуто стационарное состояние (или оно может использоваться в качестве приближения во многих случаях), и уравнение диффузии (выше) упрощается до уравнения Лапласа. Это уравнение утверждает, что гидравлический напор является гармонической функцией и имеет множество аналогий в других областях. Уравнение Лапласа можно решить, используя различные методы, основанные на аналогичных предположениях, указанных выше, но с дополнительным требованием стационарности потока. Распространенным методом решения этого уравнения в строительстве и механике грунтов является графический метод построения линий тока и эквипотенциальных линий, образующих криволинейную сетку, позволяющую приближенно решать задачи для сложных геометрических форм. Стационарный приток к насосной скважине (который в реальности никогда не достигается, но иногда является полезным приближением) обычно называют решением Тима.