Monkey and hunter

Кіріспе

Тегін құлауды көрсететін қарапайым физикалық модель Физикада маймыл мен аңшы - гравитацияның снаряд қозғалысына әсерін көрсету үшін жиі қолданылатын гипотетикалық сценарий. Оны жаттығу проблемасы немесе демонстрация ретінде ұсынуға болады. Проблеманың негізгі тұстары физиканың көптеген кіріспелік нұсқаулықтарында айтылған. Негізгі мәселе мынада: бір аңшы мылтығымен орманға маймылдарды аулауға барады да, бір маймылды ағашқа ілінгенін көреді. Маймыл аңшы өзінің соққылаушы мылтығын атып жіберген сәтте-ақ, ұстауын босатады. Маймылды соғу үшін аңшы қайда нысанаға алуы керек?

Талқылау

Бұл сұраққа жауап беру үшін, Галилей заңы бойынша, барлық заттар, заттың салмағына қарамастан, ауырлық күші бойынша бірдей тұрақты жылдамдықпен (Жер бетінде секундына шамамен 9,8 метр) құлайды. Сонымен қатар, көлденең қозғалыс пен тік қозғалыс тәуелсіз: ауырлық күші тек объектінің көлденең бағыттағы жылдамдығына емес, оның тік жылдамдығына әсер етеді. Сондықтан аңшының садағы маймылдың жылдамдығымен бірдей құлайды. Бір сәтке жер тартылысы әсер етпеді деп ойлайық. Бұл жағдайда жебе тұрақты жылдамдықпен тура сызық траекториясында жүреді (Ньютонның бірінші заңы). Гравитация жебеге осы тура жолдан құлап, парабола болып табылатын траекторияны жасайды. Енді егер аңшы маймылға тікелей нысанасын салғанда не болатынын қарастырайық, ал маймыл аңшы атып жіберген сәтте-ақ ұстауын босатады. Себебі тартылыс күші жебе мен маймылды теңдей жылдамдатады, олар бір уақытта бірдей қашықтықта құлайды: маймыл ағаш бұтағынан құлайды, ал жебе тартылыс күші болмаған жағдайда түзу сызық жолымен бірдей қашықтықта құлайды. Сондықтан жебе әрқашан маймылға тиіп отырады, оның бастапқы жылдамдығы мен ауырлық күші қаншалықты жылдам болса да. Мәселені қарастырудың тағы бір жолы - анықтамалық жүйені түрлендіру. Бұрынғы проблема Жер қозғалмайтын анықтамалық жүйеде айтылған болатын. Алайда, Жер бетіндегі өте кішкентай арақашықтықтар үшін гравитация әсерінен болатын жылдамдықты жақсы шамамен тұрақты деп санауға болады. Сондықтан, g жылдамдығы құлау кезінде жебе мен маймылға бірдей әсер етеді. Анықтама шеңберін Жердің анықтама жүйесіне қатысты g шамасына қарай жоғары қарай жылдамдатылған (яғни Жерге қатысты жаңа шеңбердің жылдамдауы -g) айналдырыңыз. Галилейлік теңдіктің арқасында (шамамен) тұрақты гравитациялық өріс (шамамен) жоғалып, бізге тек жебе мен маймылдың көлденең жылдамдығы қалдырылады. Осы анықтамалық шеңберде аңшы маймылға тікелей бағыттауы керек, өйткені маймыл қозғалмайды. Бұрыштар анықтамалық жүйелердің трансформациялануымен өзгермейтіндіктен, Жердің анықтамалық жүйесіне қайта айналғанда, нәтиже әлі де аңшы маймылға тікелей бағытталуы керек. Бұл тәсіл нәтижелерді интуитивті түрде айқын етудің артықшылығы болса да, классикалық механика заңдарының теорияда инерциялық емес (жеделдетілген) анықтамалық жүйелерге трансформациялар кезінде инвариантты болып тұрмауының аздаған логикалық кемшілігі бар (осыған қатысты салыстырмалылық қағидасын да қараңыз).

To answer this question, recall that according to Galileo's law, all objects fall with the same constant acceleration of gravity (about 9.8 metres per second per second near the Earth's surface), regardless of the object's weight. Furthermore, horizontal motions and vertical motions are independent: gravity acts only upon an object's vertical velocity, not upon its velocity in the horizontal direction. The hunter's dart, therefore, falls with the same acceleration as the monkey. Assume for the moment that gravity was not at work. In that case, the dart would proceed in a straight line trajectory at a constant speed (Newton's first law). Gravity causes the dart to fall away from this straight line path, making a trajectory that is in fact a parabola. Now, consider what happens if the hunter aims directly at the monkey, and the monkey releases his grip the instant the hunter fires. Because the force of gravity accelerates the dart and the monkey equally, they fall the same distance in the same time: the monkey falls from the tree branch, and the dart falls the same distance from the straight line path it would have taken in the absence of gravity. Therefore, the dart will always hit the monkey, no matter the initial speed of the dart, no matter the acceleration of gravity. Another way of looking at the problem is by a transformation of the reference frame. Earlier the problem was stated in a reference frame in which the Earth is motionless. However, for very small distances on the surface of Earth the acceleration due to gravity can be considered constant to good approximation. Therefore, the same acceleration g acts upon both the dart and the monkey throughout the fall. Transform the reference frame to one that is accelerated upward by the amount g with respect to the Earth's reference frame (which is to say the acceleration of the new frame with respect to the Earth is −g). Because of Galilean equivalence, the (approximately) constant gravitational field (approximately) disappears, leaving us with only the horizontal velocity of both the dart and the monkey. In this reference frame the hunter should aim straight at the monkey, since the monkey is stationary. Since angles are invariant under transformations of reference frames, transforming back to the Earth's reference frame the result is still that the hunter should aim straight at the monkey. While this approach has the advantage of making the results intuitively obvious, it suffers from the slight logical blemish that the laws of classical mechanics are not postulated within the theory to be invariant under transformations to non inertial (accelerated) reference frames (see also principle of relativity).