Кіріспе
Статистика және эконометриядағы теорема. Эконометрияда Фриш–Вау–Ловелл (FWL) теоремасы эконометрияшылар Рагнар Фриш, Фредерик В. Вау және Майкл С. Ловеллдің есімдерімен аталады. Фриш–Вау–Ловелл теоремасы былай тұжырымдайды: егер бізді қызықтыратын регрессия екі бөлек болжаушы айнымалылар жиыны арқылы өрнектелсе:
In econometrics, the Frisch–Waugh–Lovell (FWL) theorem is named after the econometricians Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh, and Michael C. Lovell. The Frisch–Waugh–Lovell theorem states that if the regression we are concerned with is expressed in terms of two separate sets of predictor variables:
мұндағы және матрицалар, және векторлар (және – қателік мүшесі), онда -ның бағалауы, мынадай өзгертілген регрессиядан алынған бағалаумен бірдей болады:
мұндағы проекция матрицасы -ның бейнесінің ортогональды толықтыруына проекциялайды. Балама түрінде, MX1 матрицасы X1 матрицасының бағаналық кеңістігіне ортогональды толықтыруға проекциялайды. Атап айтқанда,
және осы нақты ортогональды проекция матрицасы қалдық жасаушы матрицасы немесе жойғыш матрицасы деп белгілі. - векторы – -ның бағаналарына регрессиядан алынған қалдықтар векторы. Теореманың ең маңызды салдары – -дағы параметрлер тек -ға емес, -ға қатысты, яғни: -тың осымен байланыссыз бөлігі. Бұл әрбір жеке айнымалының көп айнымалы регрессияға қосқан үлесін түсінудің негізі (мысалы, қараңыз, Ch. 13). Теорема сондай-ақ, болжаушы айнымалылар өзара байланысты болмаған жағдайда, -ны алу үшін қолданылатын қосымша регрессияның қажет еместігін көрсетеді: түсіндірме айнымалыларын бір-біріне ортогональды ету үшін проекция матрицаларын пайдалану, барлық ортогональды емес түсіндірмелерді қамтыған регрессияны жүргізумен бірдей нәтижелерге әкеледі. Сонымен қатар, жартылай регрессиядан алынған стандартты қателер толық регрессиядан алынған стандартты қателерге тең.
The most relevant consequence of the theorem is that the parameters in do not apply to but to , that is: the part of uncorrelated with This is the basis for understanding the contribution of each single variable to a multivariate regression (see, for instance, Ch. 13 in ). The theorem also implies that the secondary regression used for obtaining is unnecessary when the predictor variables are uncorrelated: using projection matrices to make the explanatory variables orthogonal to each other will lead to the same results as running the regression with all non orthogonal explanators included. Moreover, the standard errors from the partial regression equal those from the full regression.
Тарих
Теореманың шығу тегі белгісіз, бірақ ол Фриш пен Во мақаласынан бұрын сызықтық регрессия саласында жақсы орныққан еді. Джордж Удни Юлдің 1907 жылы жарияланған ішінара регрессиялардың толыққанды талдауы теореманы 9-бөлімде 184-бетке енгізді. Юл теореманың көптік және ішінара регрессия мен корреляция коэффициенттерін түсіну үшін маңызды екенін атап өтті, бұл туралы сол мақаланың 10-бөлімінде айтылған. 1931 жылы Маджетпен бірлесіп жазған мақаласында Фриш Юлдің нәтижелерін сілтеме ретінде келтірді. Юлдің ішінара регрессия формулалары басқа автордың қате пікірін түзеу мақсатында келтіріліп, оған тікелей жатқызылды, олар қарапайым және түсінікті деп есептелді. Осының құрметі ретінде, теорема атауына оның есімі қосылады.