Кіріспе
Санау деректерінің статистикалық моделі
Статистикада Пуассон регрессиясы – санау деректері мен мүмкіндік кестелерін модельдеуге қолданылатын регрессиялық талдаудың жалпыланған сызықтық модель түрі. Пуассон регрессиясы жауап айнымалысы Y-дің Пуассон таралымына ие деп есептейді және оның күтілетін мәнінің логарифмін белгісіз параметрлердің сызықтық комбинациясы арқылы модельдеуге болады деп есептейді. Пуассон регрессиялық моделі кейде логарифмдік-сызықтық модель деп аталады, әсіресе ол мүмкіндік кестелерін модельдеу үшін қолданылғанда. Теріс биномдық регрессия – Пуассон регрессиясының танымал жалпыламасы, себебі ол Пуассон моделі жасаған дисперсияның орташаға тең болуы туралы өте шектеулі болжамды жеңілдетеді. Дәстүрлі терiс биномдық регрессия моделі Пуассон-гамма қоспалы таралымына негізделген. Бұл модель танымал, себебі ол гамма таралымы арқылы Пуассон гетерогенділігін модельдейді. Пуассон регрессиялық модельдері логарифмді (канондық) байланыс функциясы ретінде және Пуассон таралу функциясын жауаптың ықтималдық таралымы ретінде қолданатын жалпыланған сызықтық модельдер болып табылады.
Орташа ішінара әсер
Көп жағдайда қызығушылық тудыратын нәрсе – орташа ішінара әсер немесе орташа шекті әсер болып табылады, ол тәуелсіз айнымалы бір бірлікке өзгергенде нәтиженің қаншаға өзгеретінін көрсетеді. Үзіліссіз айнымалы үшін Пуассон моделіндегі орташа ішінара әсерді былай көрсетуге болады:
Бұл Пуассон моделінің коэффициенттік бағалауларын және байқалған мәндерін пайдалану арқылы есептелуі мүмкін.
Практикада Пуассон регрессиясы
Пуассон регрессиясы, тәуелді айнымалы саналатын жағдайларда қолданылуы мүмкін, мысалы, колл-орталыққа телефон қоңырауларының келу саны сияқты оқиғалар. Оқиғалар бір-біріне тәуелді болмауы керек, яғни бір қоңыраудың келуі екінші қоңыраудың келу ықтималдығын арттырмауы немесе азайтуы тиіс, бірақ оқиғалардың уақыт бірлігіне шаққандағы ықтималдығы, күннің уақыты сияқты ковариаторлармен байланысты болады деп есептеледі.
Артық дисперсия және нөлдік инфляция
Пуассон таралымының ерекшелігі – оның математикалық күтілуі дисперсиясына тең болуында. Кейбір жағдайларда, байқалатын дисперсия математикалық күтілуден артық болуы мүмкін; бұл шамадан тыс дисперсия деп аталады және модельдің дұрыс таңдалмағанын көрсетеді. Мұның себебі көбінесе маңызды түсіндірме айнымалыларды немесе тәуелді бақылауларды ескермеу болуы мүмкін. Кейбір жағдайларда, шамадан тыс дисперсия мәселесін квази- ықтималдықпен бағалау немесе теріс биномдық таралымды қолдану арқылы шешуге болады. Вер Хоф және Бовенг квази-Пуассон (квази-әдеттілікпен артық дисперсия деп те аталады) мен теріс биномдық таралымның (гамма-Пуассонға баламалы) арасындағы айырмашылықты былай сипаттады: Егер E(Y) = μ болса, квази-Пуассон моделі var(Y) = θμ деп есептейді, ал гамма-Пуассон моделі var(Y) = μ(1 + κμ) деп есептейді, мұнда θ – квази-Пуассонның артық дисперсия параметрі, ал κ – теріс биномдық таралымның пішін параметрі. Екі модель үшін де параметрлер итеративті қайта салмақталған ең кіші квадраттар әдісімен бағаланады. Квази-Пуассон үшін салмақтар μ/θ құрайды. Теріс биномдық таралым үшін салмақтар μ/(1 + κμ) құрайды. μ үлкен және Пуассонның қосымша айырмашылығы айтарлықтай болған жағдайда, теріс биномдық салмақтар 1/κ мәнімен шектеледі. Вер Хоф және Бовенг орташа квадраттық қалдықтарды математикалық күтілуге қарсы графиктің көмегімен екі модельдің арасынан таңдау жасаған мысал туралы талқылады. Пуассон регрессиясының тағы бір жиі кездесетін мәселесі – артық нөлдер: егер екі процесс жүріп жатса, біреуі оқиғаның болуын немесе болмауын анықтаса, ал екіншісі – оқиғалардың санын анықтаса, онда Пуассон регрессиясы болжағаннан көп нөлдер кездеседі. Мысал ретінде, бір сағат ішіндегі темекі шегушілер тобының мүшелері шегетін темекі санының таралуын қарастыруға болады, мұнда кейбір адамдар темекі тартпайды. Мұндай жағдайларда теріс биномдық модель немесе нөлдік инфляциялық модель сияқты басқа жалпыланған сызықтық модельдер жақсы нәтижелер бере алады. Керісінше, дисперсияның жеткіліксіз болуы параметрлерді бағалауда қиындықтар тудыруы мүмкін.
Тіршілік етуді талдауда қолдану
Пуассон регрессиясы пропорционалды қауіп модельдерін құрайды, бұл өмір сүруді талдаудың бір түрі: Кокс модельдерінің сипаттамалары үшін пропорционалды қауіп модельдеріне жүгініңіз.