Введение
Статистическая модель для счетных данных
В статистике, регрессия Пуассона — это форма обобщенной линейной модели, используемая для анализа регрессии счетных данных и таблиц сопряженности. Регрессия Пуассона предполагает, что зависимая переменная Y имеет распределение Пуассона, и что логарифм ее математического ожидания может быть смоделирован как линейная комбинация неизвестных параметров. Модель регрессии Пуассона иногда называют логарифмически-линейной моделью, особенно при моделировании таблиц сопряженности. Отрицательная биномиальная регрессия является популярным обобщением регрессии Пуассона, поскольку она ослабляет сильно ограничивающее предположение о равенстве дисперсии и математического ожидания, сделанное в модели Пуассона. Традиционная модель отрицательной биномиальной регрессии основана на смешанном распределении Пуассона-гамма. Эта модель популярна, поскольку она моделирует неоднородность Пуассона с помощью гамма-распределения. Модели регрессии Пуассона являются обобщенными линейными моделями, в которых логарифм выступает в качестве (канонической) функции связи, а распределение Пуассона — в качестве предполагаемого распределения вероятностей зависимой переменной.
Средний частичный эффект
Часто объектом интереса является средний частичный эффект или средний предельный эффект, который интерпретируется как изменение результата при изменении независимой переменной на одну единицу. Средний частичный эффект в модели Пуассона для непрерывной переменной может быть выражен как:
Это можно оценить, используя оценки коэффициентов из модели Пуассона с наблюдаемыми значениями .
Регрессия Пуассона на практике
Регрессия Пуассона может быть уместна, когда зависимая переменная представляет собой счетчик, например, событий, таких как поступление телефонного звонка в колл-центр. События должны быть независимыми в том смысле, что поступление одного звонка не должно увеличивать или уменьшать вероятность поступления другого, однако вероятность возникновения событий в единицу времени считается связанной с ковариатами, такими как время суток.
Сверхдисперсия и нулевая инфляция
Характерной чертой распределения Пуассона является то, что его математическое ожидание равно его дисперсии. В некоторых случаях наблюдается, что наблюдаемая дисперсия больше математического ожидания; это называется сверхдисперсией и указывает на то, что модель не является подходящей. Общей причиной является упущение релевантных объяснительных переменных или зависимые наблюдения. В некоторых случаях проблему сверхдисперсии можно решить с помощью квази-максимального правдоподобия или отрицательного биномиального распределения. Вер Хоф и Бовенг описали разницу между квази-Пуассоном (также называемым сверхдисперсией с квази-максимальным правдоподобием) и отрицательным биномом (эквивалентным гамма-Пуассону) следующим образом: Если E(Y) = μ, квази-модель Пуассона предполагает var(Y) = θμ, в то время как гамма-Пуассон предполагает var(Y) = μ(1 + κμ), где θ является параметром сверхдисперсии квази-Пуассона, а κ – параметром формы отрицательного биномиального распределения. Для обеих моделей параметры оцениваются с использованием итеративно перевзвешенных наименьших квадратов. Для квази-Пуассона веса составляют μ/θ. Для отрицательного бинома веса составляют μ/(1 + κμ). При больших μ и существенной дополнительной дисперсии Пуассона отрицательные биномиальные веса ограничиваются 1/κ. Вер Хоф и Бовенг обсудили пример, где они выбирали между ними, построив график квадратов среднеквадратичных остатков в зависимости от математического ожидания. Другая распространенная проблема регрессии Пуассона – избыточное количество нулей: если действуют два процесса, один определяющий, есть ли нулевые события или какие-либо события, а процесс Пуассона определяющий, сколько событий, то количество нулей будет больше, чем предсказывает регрессия Пуассона. Примером может служить распределение выкуренных сигарет в течение часа членами группы, в которой некоторые люди не курят. Другие обобщенные линейные модели, такие как отрицательная биномиальная модель или модель с избыточным количеством нулей, могут работать лучше в этих случаях. Напротив, недостаточная дисперсия может представлять проблему для оценки параметров.
Использование в анализе выживаемости
Регрессия Пуассона создает модели пропорциональных рисков, являющиеся одним из классов анализа выживаемости: см. раздел «Модели пропорциональных рисков» для описания моделей Кокса.