Кіріспе
Бірыңғай полихорон
Түзетілген 5 ұяшықтың 5 тетраэдрлік ұяшықтары көрсетілген Шлегель диаграммасы. Тип: Бірыңғай 4 политоп. Шлефли символы: t1{3,3,3} немесе r{3,3,3}{32,1} = Коксетер Динкин диаграммасы. Ұяшықтар: 105 {3,3} 5 3.3.3.3. Беттер: 30 {3}. Қырлар: 30. Төбелер: 10. Төбелік фигура: Үшбұрышты призма. Симметрия тобы: A4, [3,3,3], 120 рет. Петри көпбұрышы: Бесбұрыш. Қасиеттері: дөңес, теңбұрышты, изотоксалды. Бірыңғай индекс: 1 2 3.
Rectified 5 cellSchlegel diagram with the 5 tetrahedral cells shown. TypeUniform 4 polytopeSchläfli symbol t1{3,3,3} or r{3,3,3}{32,1} = Coxeter Dynkin diagramCells105 {3,3} 5 3.3.3.3 Faces30 {3}Edges30Vertices10Vertex figureTriangular prismSymmetry groupA4, [3,3,3], order 120Petrie polygonPentagonPropertiesconvex, isogonal, isotoxalUniform index1 2 3
In four dimensional geometry, the rectified 5 cell is a uniform 4 polytope composed of 5 regular tetrahedral and 5 regular octahedral cells. Each edge has one tetrahedron and two octahedra. Each vertex has two tetrahedra and three octahedra. In total it has 30 triangle faces, 30 edges, and 10 vertices. Each vertex is surrounded by 3 octahedra and 2 tetrahedra; the vertex figure is a triangular prism. Topologically, under its highest symmetry, [3,3,3], there is only one geometrical form, containing 5 regular tetrahedra and 5 rectified tetrahedra (which is geometrically the same as a regular octahedron). It is also topologically identical to a tetrahedron octahedron segmentochoron. The vertex figure of the rectified 5 cell is a uniform triangular prism, formed by three octahedra around the sides, and two tetrahedra on the opposite ends. Despite having the same number of vertices as cells (10) and the same number of edges as faces (30), the rectified 5 cell is not self dual because the vertex figure (a uniform triangular prism) is not a dual of the polychoron's cells.
Төрт өлшемді геометрияда түзетілген 5 ұяшық – 5 реттелі тетраэдр және 5 реттелі октаэдр ұяшықтарынан құралған бірыңғай 4 политоп. Әр қырында бір тетраэдр және екі октаэдр бар. Әр төбесінде екі тетраэдр және үш октаэдр орналасқан. Барлығы 30 үшбұрышты бет, 30 қыр және 10 төбе бар. Әр төбе 3 октаэдр және 2 тетраэдрмен қоршалған; төбелік фигурасы үшбұрышты призма болып табылады. Топологиялық тұрғыдан алғанда, ең жоғары симметриясы [3,3,3] бойынша тек бір геометриялық форма бар, ол 5 реттелі тетраэдр және 5 түзетілген тетраэдрден (геометриялық тұрғыдан реттелі октаэдрмен бірдей) тұрады. Сондай-ақ, ол топологиялық тұрғыдан тетраэдр-октаэдр сегментохоронмен сәйкес келеді. Түзетілген 5 ұяшықтың төбелік фигурасы – үшбұрышты призма, ол бүйірлерінде үш октаэдрден және қарама-қарсы шеттерінде екі тетраэдрден құралған. Ұяшықтардың саны (10) төбелер санымен және қырлардың саны (30) беттер санымен бірдей болғанымен, түзетілген 5 ұяшық өзіне-өзі дуалды емес, себебі төбелік фигурасы (біркелкі үшбұрышты призма) полихорон ұяшықтарының дуалы емес.
Rectified 5 cellSchlegel diagram with the 5 tetrahedral cells shown. TypeUniform 4 polytopeSchläfli symbol t1{3,3,3} or r{3,3,3}{32,1} = Coxeter Dynkin diagramCells105 {3,3} 5 3.3.3.3 Faces30 {3}Edges30Vertices10Vertex figureTriangular prismSymmetry groupA4, [3,3,3], order 120Petrie polygonPentagonPropertiesconvex, isogonal, isotoxalUniform index1 2 3
In four dimensional geometry, the rectified 5 cell is a uniform 4 polytope composed of 5 regular tetrahedral and 5 regular octahedral cells. Each edge has one tetrahedron and two octahedra. Each vertex has two tetrahedra and three octahedra. In total it has 30 triangle faces, 30 edges, and 10 vertices. Each vertex is surrounded by 3 octahedra and 2 tetrahedra; the vertex figure is a triangular prism. Topologically, under its highest symmetry, [3,3,3], there is only one geometrical form, containing 5 regular tetrahedra and 5 rectified tetrahedra (which is geometrically the same as a regular octahedron). It is also topologically identical to a tetrahedron octahedron segmentochoron. The vertex figure of the rectified 5 cell is a uniform triangular prism, formed by three octahedra around the sides, and two tetrahedra on the opposite ends. Despite having the same number of vertices as cells (10) and the same number of edges as faces (30), the rectified 5 cell is not self dual because the vertex figure (a uniform triangular prism) is not a dual of the polychoron's cells.
Құрылымы
Симплекс пен 24 ұяшықпен бірге, бұл пішін және оның қос пішіні (он қабырғасы және он үшбұрышты бипирамида жақтары бар политоп) алғашқы 2 қарапайым 2 симплициалдық 4 политоптардың бірі болды. Бұл оның барлық екі өлшемді жақтары, сондай-ақ оның қос пішінінің барлық екі өлшемді жақтары үшбұрыштар екенін білдіреді. 1997 жылы Том Брэден екі түзетілген 5 ұяшықты біріктіру арқылы тағы бір қос мысал тапты; содан бері шексіз көп 2 қарапайым 2 симплициалдық политоптар құрылды.
Жартылай тұрақты политоп
Ол 1900 жылы Торольд Госсет өзінің еңбегінде ашқан, Платондық денелерден құралған екі немесе одан көп жасушадан тұратын үш жартылай реттелі 4-политоптың бірі. Ол оны тетраэдр және октаэдр жасушаларынан құралғандықтан тетроктаэдрлік деп атады. Е. Л. Элте 1912 жылы оны жартылай реттелі политоп ретінде анықтап, tC5 деп белгіледі.
Суреттер
стереографиялық проекция (октаэдрге центрленген) Тор (политоп) Тетраэдрдің 3D кеңістікке перспективалық проекциясы, 4D көрініс нүктесіне ең жақын тетраэдр қызыл түспен, ал оны қоршаған 4 октаэдр жасыл түспен көрсетілген. Политоптың қарама-қарсы жағындағы жасушалар анықтық үшін алынып тасталған (бірақ оларды қабырға контурларынан көруге болады). Айналу 3D проекция кескінінің құрылымын көрсету үшін ғана жасалған, 4D кеңістіктегі айналу емес.
Туысқан 4-политоптар
Түзетілген 5 жақтанды - 5 жартылай текшесінің төбелік фигурасы және бірыңғай 221 политоптың қабырғалық фигурасы.
Түзетілген 5 элементті және оның қос элементті құрамасы
Дөңес қабықша, түзелген 5 ұяшық және оның қос (бірдей ұзын радиусы бар) – 30 ұяшықтан құралған біртекті емес полихорон: 10 тетраэдр, 20 октаэдр (үшбұрышты антипризмалар түрінде) және 20 төбе. Оның төбелік фигурасы үшбұрышты бифрустум болып табылады.
Пентахорон политоптары
Түзетілген 5 жасуша – [3,3,3] Коксетер тобынан құралған 9 біртекті 4-политоптың бірі.
Жартылай тұрақты политоптар
Түзетілген 5 ұяшығы жартылай тұрақты политоптардың өлшемдік қатарында екінші орында. Әрбір келесі біркелкі политоп алдыңғы политоптың төбелік фигурасы арқылы құрастырылады. Торолд Госсет 1900 жылы осы қатарды барлық дұрыс политоп жақтарын, барлық симплекстер мен ортоплекстерді (5 ұяшық жағдайында тетраэдрлер мен октаэдрлерді) қамтитынын анықтады. Түзетілген 5 ұяшықтың Коксетер символы – 021.