Введение
Равномерный полихорон
Диаграмма Шлегеля с 5 тетраэдрическими ячейками, показывающая 5 тетраэдрических ячеек. Тип: Равномерный 4-политоп. Символ Шлефли: t1{3,3,3} или r{3,3,3}{32,1} = Диаграмма Коксетера — Динкина. Ячейки: 105 {3,3} 5 3.3.3.3. Грани: 30 {3}. Рёбра: 30. Вершины: 10. Фигура вершины: Треугольная призма. Группа симметрии: A4, [3,3,3], порядок 120. Петри-полигон: Пентагон. Свойства: выпуклый, изогональный, изотоксальный. Униформный индекс: 1 2 3.
Rectified 5 cellSchlegel diagram with the 5 tetrahedral cells shown. TypeUniform 4 polytopeSchläfli symbol t1{3,3,3} or r{3,3,3}{32,1} = Coxeter Dynkin diagramCells105 {3,3} 5 3.3.3.3 Faces30 {3}Edges30Vertices10Vertex figureTriangular prismSymmetry groupA4, [3,3,3], order 120Petrie polygonPentagonPropertiesconvex, isogonal, isotoxalUniform index1 2 3
In four dimensional geometry, the rectified 5 cell is a uniform 4 polytope composed of 5 regular tetrahedral and 5 regular octahedral cells. Each edge has one tetrahedron and two octahedra. Each vertex has two tetrahedra and three octahedra. In total it has 30 triangle faces, 30 edges, and 10 vertices. Each vertex is surrounded by 3 octahedra and 2 tetrahedra; the vertex figure is a triangular prism. Topologically, under its highest symmetry, [3,3,3], there is only one geometrical form, containing 5 regular tetrahedra and 5 rectified tetrahedra (which is geometrically the same as a regular octahedron). It is also topologically identical to a tetrahedron octahedron segmentochoron. The vertex figure of the rectified 5 cell is a uniform triangular prism, formed by three octahedra around the sides, and two tetrahedra on the opposite ends. Despite having the same number of vertices as cells (10) and the same number of edges as faces (30), the rectified 5 cell is not self dual because the vertex figure (a uniform triangular prism) is not a dual of the polychoron's cells.
В четырёхмерной геометрии выпрямленная 5-ячейка — это равномерный 4-политоп, состоящий из 5 правильных тетраэдров и 5 правильных октаэдрических ячеек. Каждое ребро имеет один тетраэдр и два октаэдра. Каждая вершина имеет два тетраэдра и три октаэдра. В общей сложности у него 30 треугольных граней, 30 рёбер и 10 вершин. Каждая вершина окружена 3 октаэдрами и 2 тетраэдрами; фигура вершины представляет собой треугольную призму. Топологически, при наивысшей симметрии [3,3,3], существует только одна геометрическая форма, содержащая 5 правильных тетраэдров и 5 выпрямленных тетраэдров (которые геометрически эквивалентны правильному октаэдру). Она также топологически идентична тетраэдро-октаэдрическому сегментохорону. Фигура вершины выпрямленной 5-ячейки представляет собой равномерную треугольную призму, образованную тремя октаэдрами по сторонам и двумя тетраэдрами на противоположных концах. Несмотря на то, что у неё такое же количество вершин, как и ячеек (10), и такое же количество рёбер, как и граней (30), выпрямленная 5-ячейка не является самодвойственной, поскольку фигура вершины (равномерная треугольная призма) не является двойственной к ячейкам полихорона.
Rectified 5 cellSchlegel diagram with the 5 tetrahedral cells shown. TypeUniform 4 polytopeSchläfli symbol t1{3,3,3} or r{3,3,3}{32,1} = Coxeter Dynkin diagramCells105 {3,3} 5 3.3.3.3 Faces30 {3}Edges30Vertices10Vertex figureTriangular prismSymmetry groupA4, [3,3,3], order 120Petrie polygonPentagonPropertiesconvex, isogonal, isotoxalUniform index1 2 3
In four dimensional geometry, the rectified 5 cell is a uniform 4 polytope composed of 5 regular tetrahedral and 5 regular octahedral cells. Each edge has one tetrahedron and two octahedra. Each vertex has two tetrahedra and three octahedra. In total it has 30 triangle faces, 30 edges, and 10 vertices. Each vertex is surrounded by 3 octahedra and 2 tetrahedra; the vertex figure is a triangular prism. Topologically, under its highest symmetry, [3,3,3], there is only one geometrical form, containing 5 regular tetrahedra and 5 rectified tetrahedra (which is geometrically the same as a regular octahedron). It is also topologically identical to a tetrahedron octahedron segmentochoron. The vertex figure of the rectified 5 cell is a uniform triangular prism, formed by three octahedra around the sides, and two tetrahedra on the opposite ends. Despite having the same number of vertices as cells (10) and the same number of edges as faces (30), the rectified 5 cell is not self dual because the vertex figure (a uniform triangular prism) is not a dual of the polychoron's cells.
Структура
Вместе с симплексом и 24-ячейкой, эта форма и ее двойственный политоп (с десятью вершинами и десятью треугольными бипирамидами в качестве граней) были одними из первых двух простых двух-симплексных 4-политопов, известных на тот момент. Это означает, что все его двумерные грани, а также все двумерные грани его двойственного политопа, являются треугольниками. В 1997 году Том Брэден обнаружил еще одну двойную пару примеров, соединив две выпрямленные 5-ячейки; с тех пор было сконструировано бесконечно много двух простых двух-симплексных политопов.
Полурегулярный политоп
Это один из трёх полуправильных 4-мерных политопов, составленных из двух или более ячеек, являющихся платоновыми телами, открытый Торольдом Госсетом в его работе 1900 года. Он назвал его тетроктаэдрическим, поскольку он состоит из тетраэдрических и октаэдрических ячеек. Э. Л. Элте идентифицировал его в 1912 году как полуправильный политоп, обозначив как tC5.
Изображения
стереографическая проекция (с центром на октаэдре) Сеть (политоп) Перспективная проекция тетраэдра в 3D-пространство, где ближайший к 4D-точке обзора тетраэдр отображен красным цветом, а четыре окружающих октаэдра – зеленым. Клетки, находящиеся на дальней стороне политопа, были удалены для наглядности (хотя их контуры все еще видны). Поворот осуществляется только для 3D-проекции изображения, чтобы продемонстрировать его структуру, а не является вращением в 4D-пространстве.
Сродственные 4-политопы
Исправленная 5-я ячейка является фигурой вершины 5-го полукуба и краевой фигурой однородного 221-топа.
Соединение ректифицированного 5-клеточного устройства и его двойного
Выпуклая оболочка выпрямленной 5-ячейки и ее двойственной (с одинаковым длинным радиусом) является неравномерным полихором, состоящим из 30 ячеек: 10 тетраэдров, 20 октаэдров (в форме треугольных антипризм) и 20 вершин. Его вершинная фигура — треугольный бифрустум.
Пентахоронные политопы
Ректифицированная 5-я ячейка является одним из 9 однородных 4-мерных политопов, построенных из группы Коксетера [3,3,3].
Полурегулярные политопы
Упрямленная 5-я ячейка является второй в размерной серии полуправильных политопов. Каждый следующий однородный политоп строится как вершинная фигура предыдущего политопа. Торольд Госсет идентифицировал эту серию в 1900 году, указав, что она содержит все грани регулярных политопов, включая все симплексы и ортоплексы (тетраэдры и октаэдры в случае упрямленной 5-й ячейки). Символ Коксетера для упрямленной 5-й ячейки — 021.