Кіріспе
Магниттік өрісте электрондардың теориялық мінез-құлқын сипаттайтын фрактал. Конденсацияланған материя физикасында Хофстадтердің көбелегі – тордағы перпендикуляр магниттік өрісте өзара әрекеттеспейтін екі өлшемді электрондардың спектрлік қасиеттерінің графигі. Спектрдің фракталдық, өзіне ұқсас табиғаты 1976 жылы Дуглас Хофстадтердің Ph.D. жұмысында анықталды.
In condensed matter physics, Hofstadter's butterfly is a graph of the spectral properties of non interacting two dimensional electrons in a perpendicular magnetic field in a lattice. The fractal, self similar nature of the spectrum was discovered in the 1976 Ph. D. work of Douglas Hofstadter
Hofstadter first described the structure in 1976 in an article on the energy levels of Bloch electrons in perpendicular magnetic fields. It gives a graphical representation of the spectrum of Harper's equation at different frequencies. One key aspect of the mathematical structure of this spectrum – the splitting of energy bands for a specific value of the magnetic field, along a single dimension (energy) – had been previously mentioned in passing by Soviet physicist Mark Azbel in 1964 (in a paper cited by Hofstadter), but Hofstadter greatly expanded upon that work by plotting all values of the magnetic field against all energy values, creating the two dimensional plot that first revealed the spectrum's uniquely recursive geometric properties.
Хофстадтер бұл құрылымды алғаш рет 1976 жылы перпендикуляр магниттік өрістердегі Блох электрондарының энергия деңгейлері туралы мақаласында сипаттады. Ол Харпер теңдеуінің спектрін әртүрлі жиіліктерде графикалық түрде көрсетеді. Бұл спектрдің математикалық құрылымының маңызды аспектісі – магниттік өрістің белгілі бір мәні үшін энергия жолақтарының бөлінуі, бір өлшем (энергия) бойымен – 1964 жылы совет физигі Марк Азбелдің еңбегінде (Хофстадтер сілтеме берген мақаласында) бірінші рет айтылған болатын. Бірақ Хофстадтер бұл жұмысты магниттік өрістің барлық мәндерін энергияның барлық мәндерімен салыстырып, екі өлшемді сызба жасау арқылы кеңейтті, осылайша спектрдің бірегей рекурсивті геометриялық қасиеттерін алғаш рет көрсетті.
In condensed matter physics, Hofstadter's butterfly is a graph of the spectral properties of non interacting two dimensional electrons in a perpendicular magnetic field in a lattice. The fractal, self similar nature of the spectrum was discovered in the 1976 Ph. D. work of Douglas Hofstadter
Hofstadter first described the structure in 1976 in an article on the energy levels of Bloch electrons in perpendicular magnetic fields. It gives a graphical representation of the spectrum of Harper's equation at different frequencies. One key aspect of the mathematical structure of this spectrum – the splitting of energy bands for a specific value of the magnetic field, along a single dimension (energy) – had been previously mentioned in passing by Soviet physicist Mark Azbel in 1964 (in a paper cited by Hofstadter), but Hofstadter greatly expanded upon that work by plotting all values of the magnetic field against all energy values, creating the two dimensional plot that first revealed the spectrum's uniquely recursive geometric properties.
Бекіту
1997 жылы Хофстадтер көбелегі таратушы элементтері бар микротолқынды бағыттағышпен жүргізілген тәжірибелерде қайта жаңғыртылды. Микротолқынды бағыттағыштардың таратушылармен математикалық сипаттамасы мен магнит өрісіндегі Блох толқындары арасындағы ұқсастық таратушылардың периодтық тізбегі үшін Хофстадтер көбелегін жаңғыртуға мүмкіндік берді. 2001 жылы Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клицинг және олардың әріптестері Thouless және тағы басқалардың Хофстадтер көбелегі туралы болжамдарын тексеру үшін тәжірибелік орналымды іске асырды. Бұл суперторлық потенциалдағы екі өлшемді электрондық газды қамтиды. Осы жағдайда көбелек спектрі қолданылған магнит өрісі мен графен торының борон нитридіне шамалы бұрыш айырмасымен орналасқанда пайда болатын ірі масштабты моир үлгісінің өзара әрекеттесуінен туындайды. 2017 жылдың қыркүйегінде Google-дағы Джон Мартинис тобы Сингапурдағы CQT-дегі Ангелакис тобымен бірлесіп, 9 суперөткізгіш кубиттегі өзара әрекеттесетін фотондарды қолдана отырып, перпендикуляр магнит өрісіндегі 2D электрондарды модельдеу нәтижелерін жариялады. Күтілгендей, модельдеу Хофстадтер көбелегін көрсетті. 2021 жылы көбелек екінші «сиқырлы» бұрышта бұралған екі қабатты графенде байқалды.
Фазалық диаграмма, өткізгіштік және топология
Екі өлшемді шаршы тордағы электрондардың фазалық диаграммасы, перпендикуляр магнит өрісіне, химиялық потенциалға және температураға тәуелді, шексіз көп фазаға ие. Тхоулес және оның әріптестері әрбір фазаның интегралды Холл өткізгіштігімен сипатталатынын көрсетті, онда барлық бүтін мәндерге рұқсат етіледі. Бұл бүтін сандар Черн сандары деп белгілі.