Введение
Фрактал, описывающий теоретическое поведение электронов в магнитном поле. В физике конденсированного состояния бабочка Хофштадтера — это график спектральных свойств невзаимодействующих двумерных электронов в перпендикулярном магнитном поле в кристаллической решетке. Фрактальная, самоподобная природа спектра была обнаружена в диссертации Дугласа Хофштадтера 1976 года.
In condensed matter physics, Hofstadter's butterfly is a graph of the spectral properties of non interacting two dimensional electrons in a perpendicular magnetic field in a lattice. The fractal, self similar nature of the spectrum was discovered in the 1976 Ph. D. work of Douglas Hofstadter
Hofstadter first described the structure in 1976 in an article on the energy levels of Bloch electrons in perpendicular magnetic fields. It gives a graphical representation of the spectrum of Harper's equation at different frequencies. One key aspect of the mathematical structure of this spectrum – the splitting of energy bands for a specific value of the magnetic field, along a single dimension (energy) – had been previously mentioned in passing by Soviet physicist Mark Azbel in 1964 (in a paper cited by Hofstadter), but Hofstadter greatly expanded upon that work by plotting all values of the magnetic field against all energy values, creating the two dimensional plot that first revealed the spectrum's uniquely recursive geometric properties.
Хофштадтер впервые описал эту структуру в 1976 году в статье об энергетических уровнях электронов Блоха в перпендикулярных магнитных полях. Она представляет собой графическое отображение спектра уравнения Харпера при различных частотах. Один из ключевых аспектов математической структуры этого спектра — расщепление энергетических зон для определенного значения магнитного поля вдоль одной размерности (энергии) — был ранее мимоходом упомянут советским физиком Марком Азбелем в 1964 году (в статье, на которую ссылался Хофштадтер), но Хофштадтер значительно расширил эту работу, построив график всех значений магнитного поля в зависимости от всех энергетических значений, что позволило создать двухмерное изображение, впервые раскрывающее уникальные рекурсивные геометрические свойства спектра.
In condensed matter physics, Hofstadter's butterfly is a graph of the spectral properties of non interacting two dimensional electrons in a perpendicular magnetic field in a lattice. The fractal, self similar nature of the spectrum was discovered in the 1976 Ph. D. work of Douglas Hofstadter
Hofstadter first described the structure in 1976 in an article on the energy levels of Bloch electrons in perpendicular magnetic fields. It gives a graphical representation of the spectrum of Harper's equation at different frequencies. One key aspect of the mathematical structure of this spectrum – the splitting of energy bands for a specific value of the magnetic field, along a single dimension (energy) – had been previously mentioned in passing by Soviet physicist Mark Azbel in 1964 (in a paper cited by Hofstadter), but Hofstadter greatly expanded upon that work by plotting all values of the magnetic field against all energy values, creating the two dimensional plot that first revealed the spectrum's uniquely recursive geometric properties.
Подтверждение
В 1997 году бабочка Хофстадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым волноводом, оснащенным массивом рассеивателей. Сходство между математическим описанием микроволнового волновода с рассеивателями и волнами Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести бабочку Хофстадтера для периодических последовательностей рассеивателей. В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клицинг и их коллеги реализовали экспериментальную установку для проверки предсказаний Thouless et al. относительно бабочки Хофстадтера, используя двумерный электронный газ в потенциале суперрешетки. В данном случае спектр бабочки является результатом взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным узором моаре, возникающим при ориентации графеновой решетки с почти нулевым угловым рассогласованием относительно нитрида бора. В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса из Google, в сотрудничестве с группой Ангелакиса из CQT Сингапур, опубликовала результаты моделирования 2D-электронов в перпендикулярном магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубитах. Моделирование подтвердило появление бабочки Хофстадтера, как и ожидалось. В 2021 году бабочка была наблюдаема в скрученном двуслойном графене при втором магическом угле.
Фазовая диаграмма, проводимость и топология
Фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке, как функция перпендикулярного магнитного поля, химического потенциала и температуры, содержит бесконечное число фаз. Тхоулес и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется целой величиной холловской проводимости, при этом допускаются любые целые значения. Эти целые числа известны как числа Черна.