Сызықсыз және уақыт өзгеретін жүйелерді басқару теориясы

Кіріспе

Сызықтық емес немесе уақыт бойынша өзгеретін жүйелердің басқару теориясы

Сызықтық емес басқару теориясы – сызықтық емес, уақыт бойынша өзгеретін немесе екеуі де болатын жүйелерді зерттейтін басқару теориясының бір саласы. Басқару теориясы – инженерия және математиканың салааралық ғылымы, ол динамикалық жүйелердің кірістерге реакциясын және кері байланыс, алға жіберу немесе сигналдарды сүзу арқылы кірістерді өзгерту арқылы шығысты қалай өзгертуге болатынын қарастырады. Басқарылатын жүйе «объект» деп аталады. Жүйенің шығысын қажетті анықтамалық сигналға сәйкес етуіне қол жеткізудің бір жолы – объектінің шығысын қажетті шығыспен салыстыру және объектіге кері байланыс беру арқылы шығысты қажетті мәнге жақындату. Басқару теориясы екі негізгі салаға бөлінеді. Сызықтық басқару теориясы суперпозиция принципіне бағынатын құрылғылардан құралған жүйелерге қолданылады. Олар сызықтық дифференциалдық теңдеулермен басқарылады. Оның маңызды бір тармағы – уақыт өте келе өзгеретін параметрлері жоқ жүйелер, олар сызықтық уақыт бойынша өзгермейтін (СУӨ) жүйелер деп аталады. Мұндай жүйелерді Лаплас түрлендіруі, Фурье түрлендіруі, Z түрлендіруі, Боде графигі, түбірлік локус және Найквист тұрақтылық критерийі сияқты қуатты жиілік доменді математикалық әдістермен шешуге болады. Сызықтық емес басқару теориясы суперпозиция принципіне бағынбайтын жүйелердің кең класын қамтиды. Бұл теория нақты әлемдегі жүйелерге көбірек қатысты, өйткені барлық нақты басқару жүйелері сызықтық емес. Мұндай жүйелер көбінесе сызықтық емес дифференциалдық теңдеулермен басқарылады. Оларды зерттеу үшін жасалған математикалық әдістер қатаң, бірақ көбінесе жүйелердің шектеулі санаттарына ғана қолданылады. Оларға шекті циклдер теориясы, Пуанкаре карталары, Ляпунов тұрақтылық теориясы және сипаттамалық функциялар жатады. Егер тек тұрақты нүктеге жақын шешімдер маңызды болса, сызықтық емес жүйелерді сызықтық емес шешімді қатарға жіктеу арқылы алынған сызықтық жүйемен шамалап алмастыру арқылы сызықтықтандыруға болады, содан кейін сызықтық әдістерді қолдануға болады. Сызықтық емес жүйелер көбінесе компьютерлерде сандық әдістерді қолдана отырып, мысалы, симуляциялық тіл арқылы олардың жұмысын модельдеу арқылы талданады. Объект сызықтық болса да, сызықтық емес басқарушы көбінесе оңтайлы мүмкіндіктерге ие болуы мүмкін, мысалы, оңайрақ іске асыру, жоғары жылдамдық, жоғары дәлдік немесе басқару энергиясын азайту, бұл күрделі жобалау процесін ақталады. Сызықтық емес басқару жүйесінің мысалы – термостатпен басқарылатын жылыту жүйесі. Мысалы, үйді жылытуға арналған пеш температура өзгерісіне сызықтық емес реакция жасайды; ол «қосулы» немесе «өшірілген» күйде болады, температура айырмашылығына пропорционалды (сызықтық) құрылғыдағыдай нәзік басқаруға ие емес. Сондықтан, пеш термостаттың «қосу» орнату нүктесінен төмен температураға жеткенде ғана қосылады. Пештен таралатын жылу температураны термостаттың «өшіру» орнату нүктесіне дейін көтереді, ол пешті өшіреді, және цикл қайталанады. Температураның қажетті мәнге қатысты циклдеуі шекті цикл деп аталады және сызықтық емес басқару жүйелеріне тән.

Nonlinear control theory is the area of control theory which deals with systems that are nonlinear, time variant, or both. Control theory is an interdisciplinary branch of engineering and mathematics that is concerned with the behavior of dynamical systems with inputs, and how to modify the output by changes in the input using feedback, feedforward, or signal filtering. The system to be controlled is called the "plant". One way to make the output of a system follow a desired reference signal is to compare the output of the plant to the desired output, and provide feedback to the plant to modify the output to bring it closer to the desired output. Control theory is divided into two branches. Linear control theory applies to systems made of devices which obey the superposition principle. They are governed by linear differential equations. A major subclass is systems which in addition have parameters which do not change with time, called linear time invariant (LTI) systems. These systems can be solved by powerful frequency domain mathematical techniques of great generality, such as the Laplace transform, Fourier transform, Z transform, Bode plot, root locus, and Nyquist stability criterion. Nonlinear control theory covers a wider class of systems that do not obey the superposition principle. It applies to more real world systems, because all real control systems are nonlinear. These systems are often governed by nonlinear differential equations. The mathematical techniques which have been developed to handle them are more rigorous and much less general, often applying only to narrow categories of systems. These include limit cycle theory, Poincaré maps, Lyapunov stability theory, and describing functions. If only solutions near a stable point are of interest, nonlinear systems can often be linearized by approximating them by a linear system obtained by expanding the nonlinear solution in a series, and then linear techniques can be used. Nonlinear systems are often analyzed using numerical methods on computers, for example by simulating their operation using a simulation language. Even if the plant is linear, a nonlinear controller can often have attractive features such as simpler implementation, faster speed, more accuracy, or reduced control energy, which justify the more difficult design procedure. An example of a nonlinear control system is a thermostat controlled heating system. A building heating system such as a furnace has a nonlinear response to changes in temperature; it is either "on" or "off", it does not have the fine control in response to temperature differences that a proportional (linear) device would have. Therefore, the furnace is off until the temperature falls below the "turn on" setpoint of the thermostat, when it turns on. Due to the heat added by the furnace, the temperature increases until it reaches the "turn off" setpoint of the thermostat, which turns the furnace off, and the cycle repeats. This cycling of the temperature about the desired temperature is called a limit cycle, and is characteristic of nonlinear control systems.

Сызықтық емес кері байланыс талдауы Лур проблемасы

А. И. Лурдің ертедегі сызықтық емес кері байланыс жүйесін талдау мәселесі қойылды. Лур мәселесімен сипатталатын басқару жүйелерінде алға бағытталған жол сызықтық және уақыт бойынша өзгермейтін, ал кері байланыс жолында жады жоқ, мүмкін уақытқа өзгеретін, статикалық сызықтық емес элемент болады. Сызықтық бөлігі төрт матрицамен (A, B, C, D) сипатталады, ал сызықтық емес бөлігі Φ(y) – секторлық сызықтық емес элементі болып табылады.

Фробен теоремасы

Фробен теоремасы дифференциалдық геометрияның терең нәтижесі болып табылады. Сызықтық емес басқаруға қолданғанда, ол мынаны айтады: егер , - таралымына жататын векторлық өрістер және басқару функциялары болса, онда интегралды қисықтар өлшемді көптікпен шектеледі, егер және инволюциялық таралым болса.