Бұрылысқан 24 ұяшық (Snub 24 cell)

Кіріспе

Snub 24 cellTypeUniform 4 polytopeSchläfli symbols{3,4,3}sr{3,3,4}s{31,1,1}Coxeter Dynkindiagrams or or Cells14496 3.3.3 (қисайған) 24 3.3.3 24 3.3.3.3 Faces480 {3}Edges432Vertices96Vertex figure(Үшке кемітілген икосаэдр)Symmetry groups[3+,4,3], F4, 576 тәртібі [(3,3)+,4], B4, 192 тәртібі [31,1]+, D4, 96 тәртібіDualDual snub 24 cellPropertiesconvexUniform index30 31 32

Геометрияда, 24 snub клеткасы немесе snub дикоситетрахорон – 120 дұрыс тетраэдр және 24 икосаэдр клеткаларынан құралған дөңес 4-политоп. Әр төбесінде бес тетраэдр және үш икосаэдр кездеседі. Барлығында 480 үшбұрышты жақ, 432 қабырға және 96 төбе бар. Оны 600 клеткадан икосаэдрлі пирамидалардың таңдамалы жиынын алып тастап, олардың икосаэдрлі негіздерін қалдырып, осылайша 480 тетраэдрді алып тастап, оларды 24 икосаэдрмен алмастыру арқылы құрастыруға болады. Топологиялық тұрғыдан, ең жоғары симметриясы [3+,4,3] бойынша, кесілген 24 клетканың кезектесуі ретінде, ол 24 пиритоэдр (Th симметриясы бар икосаэдр), 24 дұрыс тетраэдр және 96 үшбұрышты пирамиданы қамтиды.

Жартылай тұрақты политоп

Ол 1900 жылы Торольд Госсет өзінің еңбегінде ашқан, Платондық денелерден құралған екі немесе одан көп жасушадан тұратын үш жартылай тұрақты 4-өлшемді политоптың бірі. Ол оны тетраэдр және икосаэдр жасушаларынан құралғандықтан тетрикосаэдр деп атады. (Қалған екеуі – түзетілген 5 жасуша және түзетілген 600 жасуша.)

Құрылымы

24 ұяшықтың көк икосаэдрлері мен қызыл және сары тетраэдрлері бар тор. Икосаэдрлік жасушалар бетпе-бет орналасып, олардың арасындағы бос кеңістіктер бес тетраэдрлік жасушалардың кластерлерімен толтырылады. Әрбір икосаэдрлік жасуша 8 басқа икосаэдрлік жасушамен 8 үшбұрышты бет арқылы байланысады, бұл орын жазу октаэдріне сәйкес келеді. Қалған үшбұрышты беттері тетраэдрлік жасушаларға қосылады, олар икосаэдрлік жасушаның қабырғасын бөлісетін жұптар түрінде кездеседі. Тетраэдрлік жасушаларды 96 сары және 24 қызыл жасушадан тұратын екі топқа бөлуге болады (төбедегі суретте көрсетілгендей). Әрбір сары тетраэдрлік жасуша үшбұрышты беттері арқылы 3 көк икосаэдрлік жасушаға және 1 қызыл тетраэдрлік жасушаға қосылады, ал әрбір қызыл тетраэдрлік жасуша 4 сары тетраэдрлік жасушаға қосылады. Осылайша, тетраэдрлік жасушалар бес топқа бірігеді (төрт сары жасуша беттері қызыл орталық жасушаның айналасында орналасқан, әр қызыл/сары жұп әртүрлі гипержазықтықта жатады). Бестіктің қызыл орталық тетраэдрі өзінің алты қабырғасының әрқайсысын басқа икосаэдрлік жасушамен және сол қабырғаны икосаэдрлік жасушада бөлісетін сары тетраэдрлік жасушалармен бөліседі.

Болашаққа арналған болжамалар

Перспективалық проекциялар. Икосаэдрлік ұяшыққа центрленген перспективалық проекция, 4D көзқарас нүктесі төбе ортасының радиусынан 5 есе қашықтықта орналасқан. Ең жақын икосаэдрлік ұяшық толық түспен, ал қалған ұяшықтар жиектерімен көрсетілген. 4D көзқарастан алысқа қараған ұяшықтар визуалды қабысуды азайту үшін алынып тасталады. Сол проекция, енді орталық ұяшықты қоршап тұрған 8 икосаэдрлік ұяшықтың 4-і жасыл түспен көрсетілген. Жоғарыдағыдай проекция, енді орталық ұяшықты қоршап тұрған қалған 4 икосаэдрлік ұяшық қызғылт түспен көрсетілген. Бұл суреттің анимациялық нұсқасы осы ұяшықтардың орналасуын жақсы көрсетеді. Осы ерекше көзқарас нүктесінен тетраэдрлік ұяшықтарды қамтитын бір саңылауды көруге болады. Бұл саңылаулардың әрқайсысы 5 тетраэдрлік ұяшықпен толтырылады, олар мұнда көрсетілмеген. Жоғарыдағыдай проекция, енді саңылаудағы орталық тетраэдрлік ұяшық толтырылған. Бұл тетраэдрлік ұяшық тағы 4 тетраэдрлік ұяшыққа қосылған, олардың екеуі осы суретте көрінетін екі саңылауды толтырады. Қалған екеуі жасыл тетраэдрлік ұяшық, қызғылт ұяшық және сары тетраэдрлік ұяшықтың арасында, сары тетраэдрлік ұяшықтың сол және оң жағында орналасқан. Бұл суреттерде 4D көзқарастан алысқа қараған ұяшықтар алынып тасталғанын ескеріңіз; сондықтан мұнда 1 + 8 + 6 + 24 = 39 ұяшық есептелген. Қалған ұяшықтар 24-ұяшықтың екінші жағында орналасқан. Мұнда сары тетраэдрдің үстінен орналасқан, олардың бірінің жиектерінің контурының бір бөлігін, икосаэдрлік ұяшықты байқауға болады. Бұл суретте тек ең жақын икосаэдрлік ұяшық пен алдыңғы суреттегі 6 сары тетраэдрлік ұяшық көрсетілген. Енді орталық икосаэдрлік ұяшыққа қосылған 12 тетраэдрлік ұяшық және 6 сары тетраэдрлік ұяшық көрсетілген. Бұл ұяшықтардың әрқайсысы орталық икосаэдрмен және жоғарыда көрсетілген басқа екі икосаэдрлік ұяшықпен қоршалған. Соңында, 6 сары тетраэдрлік ұяшыққа қосылған қалған 12 тетраэдрлік ұяшық мұнда көрсетілген. Бұл ұяшықтар, жоғарыда көрсетілген 8 икосаэдрлік ұяшықтармен бірге, орталық ұяшықпен кем дегенде 1 төбесін бөлісетін барлық ұяшықтарды құрайды.

Perspective projectionsPerspective projection centered on an icosahedral cell, with 4D viewpoint placed at a distance of 5 times the vertex center radius. The nearest icosahedral cell is rendered in solid color, and the other cells are in edge outline. Cells facing away from the 4D viewpoint are culled, to reduce visual clutter. The same projection, now with 4 of the 8 icosahedral cells surrounding the central cell shown in green. The same projection as above, now with the other 4 icosahedral cells surrounding the central cell shown in magenta. The animated version of this image gives a good view on the layout of these cells. From this particular viewpoint, one of the gaps containing tetrahedral cells can be seen. Each of these gaps are filled by 5 tetrahedral cells, not shown here. Same projection as above, now with the central tetrahedral cell in the gap filled in. This tetrahedral cell is joined to 4 other tetrahedral cells, two of which fills the two gaps visible in this image. The other two each lies between a green tetrahedral cell, a magenta cell, and the central cell, to the left and right of the yellow tetrahedral cell. Note that in these images, cells facing away from the 4D viewpoint have been culled; hence there are only a total of 1 + 8 + 6 + 24 = 39 cells accounted for here. The other cells lie on the other side of the snub 24 cell. Part of the edge outline of one of them, an icosahedral cell, can be discerned here, overlying the yellow tetrahedron. In this image, only the nearest icosahedral cell and the 6 yellow tetrahedral cells from the previous image are shown. Now the 12 tetrahedral cells joined to the central icosahedral cell and the 6 yellow tetrahedral cells are shown. Each of these cells is surrounded by the central icosahedron and two of the other icosahedral cells shown earlier. Finally, the other 12 tetrahedral cells joined to the 6 yellow tetrahedral cells are shown here. These cells, together with the 8 icosahedral cells shown earlier, comprise all the cells that share at least 1 vertex with the central cell.

Екілік

Дуаль-Снаб 24 ұяшығында 144 бірдей қалыпсыз ұяшық бар. Әрбір ұяшықтың екі түрі бар: 3 қанат және 6 теңқабыршалы үшбұрыш. Политоптың барлығы 432 беті (144 қанат және 288 теңқабыршалы үшбұрыш) және 480 жиегі бар.

Қарым-қатынас политоптары

24 ұяшықты 600 ұяшықтың 24 төбесінде кеміту арқылы алуға болады, дәлірек айтқанда, 24 ұяшыққа ішкі жазылған төбелерде. Сондай-ақ, екінші 24 ұяшыққа ішкі жазылған төбелердегі кеміту арқылы жасалатын тағы бір екі еселі кеміту бар. Сәйкесінше, бұл екі еселі 24 кемітілген 600 ұяшық деп аталады. 24 ұяшық сондай-ақ жартылай 24 ұяшық деп те аталады, өйткені ол нағыз 24 ұяшық емес (омниуңғылған 24 ұяшықтың кезектестігі). Толық 24 ұяшықты да құрастыруға болады, бірақ ол біркелкі емес, кезектестірілген төбелерде дұрыс емес төртбұрыштардан тұрады. 24 ұяшық – 4 өлшемді бал ұясының ең ірі жағы, 24 ұяшықты бал ұясы. 24 ұяшық біркелкі 4 политоптардың F4 симметриялық отбасының бір бөлігі болып табылады.