Кіріспе

Статистикада тобит моделі – тәуелді айнымалының байқалатын диапазоны белгілі бір жолмен цензураланған регрессия модельдерінің кез келген класы. Бұл терминді Артур Голдбергер 1958 жылы модельді дамытқан Джеймс Тобинге сілтеме жасап, тұрмыстық шығындарды тұрақты тауарларға бақылау үшін нөлдік инфляцияланған деректердің мәселесін шешу үшін қолданған. Тобин әдісі қысқартылған және басқа да кездейсоқ емес үлгілерді өңдеуге оңай кеңейтілуі мүмкін болғандықтан, кейбір авторлар осы жағдайларды қамтитын тобит моделінің кеңірек анықтамасын қабылдайды. Тобиннің идеясы – ықтималдық функциясын жасырын тәуелді айнымалының белгіленген шектен жоғары немесе төмен түсуіне байланысты әрбір бақылау үшін әртүрлі үлгі алу ықтималдығын көрсететіндей етіп өзгерту болды. Тобиннің бастапқы жағдайындағыдай, нөлден төмен цензураланған үлгі үшін, әрбір шектелмеген бақылау үшін үлгі алу ықтималдығы тиісті тығыздық функциясының биіктігіне тең болады. Ал кез келген шекті бақылау үшін ол жиынтық үлестірім, яғни тиісті тығыздық функциясының нөлден төмен интегралы болып табылады. Тобит ықтималдылық функциясы – тығыздықтар мен жиынтық үлестіру функцияларының қоспасы.

Репараметризациялау

Жоғарыда көрсетілген лог-ықтималдылық жаһандық түрде қуыс емес, бұл ең жоғары ықтималдылықты бағалауды қиындатады. Олсен мына репараметризацияны ұсынды: және , нәтижесінде трансформацияланған лог-ықтималдылық пайда болды,

ол трансформацияланған параметрлер бойынша жаһандық түрде қуыс. Қиық (tobit II) моделі үшін Орме лог-ықтималдылықтың жаһандық түрде қуыс еместігін көрсетті, бірақ жоғарыда аталған трансформация бойынша кез келген стационарлық нүктеде қуыс екенін дәлелдеді.

Бірқалыптылық

Егер қатынас параметрі байқалғанды регрессиялау арқылы бағаланса, нәтижеде алынған ең кіші квадраттар регрессиялық бағалаушысы дұрыс емес болады. Ол еңіс коэффициентінің төмен бағалануына және қиылыс нүктесінің жоғары бағалануына әкеледі. Такеши Амемия (1973) Тобин ұсынған бұл модельге арналған максималды ықтималдық бағалаушының дұрыс екенін дәлелдеді.

Тобит моделінің түрленуі

Тобит моделінің түрлері цензураның қайда және қашан жүзеге асатынына өзгеріс енгізу арқылы шығарылуы мүмкін. Осы түрлер бес санатқа бөлінеді (I типті тобит – V типті тобит), мұнда I типті тобит жоғарыда сипатталған алғашқы модельді көрсетеді. Schnedler (2005) осы және тобит моделінің басқа да түрлері үшін дәйекті ықтималдық бағалаушыларды алуға арналған жалпы формула ұсынады.

I типті

Тобит моделі – цензуралық регрессиялық модельдің ерекше жағдайы, себебі жасырын айнымалы әрқашан байқала бермейді, ал тәуелсіз айнымалы байқалатын болады. Тобит моделінің көп тараған түрі – нөлден өзгеше мәнде цензуралау:

Тағы бір мысал – белгілі бір мәннен жоғарыдағы шамаларды цензуралау.

Ал, егер айнымалы бір мезгілде жоғарыдан да, төменнен де цензураланса, басқа модель пайда болады. Қалған модельдер 0-ден төмен шектелгендей қарастырылады, бірақ бұл I типтегідей кеңейтілуі мүмкін.

II типті

II типті тобит модельдері екінші жасырын айнымалыны енгізеді. I типті тобитте жасырын айнымалы қатысу процесі мен қызығушылық тудыратын нәтижені бірдей қамтиды. II типті тобит қатысу (таңдау) процесі мен қызығушылық тудыратын нәтижені байқалатын деректерге шартты түрде тәуелсіз етуге мүмкіндік береді. Хекманның таңдау моделі II типті тобит санатына жатады, және оны кейде Джеймс Хекманның құрметіне «Хеккит» деп те атайды.

III типті

III типте екінші байқалатын тәуелді айнымалы енгізіледі. Хекман моделі осы типке жатады.

IV типті

IV тип үшінші байқалатын тәуелді айнымалы және үшінші жасырын айнымалы енгізеді.

V типті

II типке ұқсас, V типінде тек белгісі ғана көрінеді.

Қолданбалар

Мысалы, Tobit модельдері гранттар алуға ықпал ететін факторларды бағалау үшін қолданылған, соның ішінде осы гранттарға өтініш бере алатын жергілікті басқару органдарына бөлінетін қаржылық трансферттерді де қамтиды. Мұндай жағдайларда грант алғандарға теріс сомалар берілмейді, демек деректер сол жағынан цензураланады. Мысалы, Dahlberg және Johansson (2002) 115 муниципалитеттен (оның 42-сі грант алған) тұратын үлгіні талдады. Dubois және Fattore (2011) Польшаның жергілікті басқару органдарының Еуропалық Одақ қаражатын алуындағы әртүрлі факторлардың рөлін зерттеу үшін Tobit моделін қолданды. Алайда, деректер нөлден жоғары бір жағынан цензуралануы мүмкін, бұл дұрыс емес сипаттамаға алып келуі мүмкін. Екі зерттеуде де Probit және басқа да модельдер тұрақтылығын тексеру үшін қолданылды. Tobit модельдері сұранысты талдауда кейбір тауарлар бойынша нөлдік шығындарды ескеру үшін де қолданылған. Tobit модельдерін қолданудың ұқсас мысалы ретінде, гомоскедастикалық, гетероскедастикалық және жалпыланған гетероскедастикалық варианттары бар брендтік сұраныс жүйесін бірлесіп бағалау үшін сызықтық емес Tobit регрессия модельдерінің жүйесі қолданылды.