Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Четырехугольник с двумя парами параллельных сторон.
Quadrilateral with two pairs of parallel sides
the quadrilateral shape
В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой (не самопересекающийся) четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине, а противоположные углы — равны по величине. Равенство противоположных сторон и углов является прямым следствием постулата Евклида о параллельных прямых, и ни одно из этих условий нельзя доказать, не опираясь на этот постулат или одну из его эквивалентных формулировок. Для сравнения, четырехугольник, имеющий хотя бы одну пару параллельных сторон, называется трапецией (в американском английском) или трапецией (в британском английском). Трехмерным аналогом параллелограмма является параллелепипед. Слово происходит от греческого παραλληλόγραμμον (parallēlógrammon), что означает фигуру, образованную "параллельными линиями".
In Euclidean geometry, a parallelogram is a simple (non self intersecting) quadrilateral with two pairs of parallel sides. The opposite or facing sides of a parallelogram are of equal length and the opposite angles of a parallelogram are of equal measure. The congruence of opposite sides and opposite angles is a direct consequence of the Euclidean parallel postulate and neither condition can be proven without appealing to the Euclidean parallel postulate or one of its equivalent formulations. By comparison, a quadrilateral with at least one pair of parallel sides is a trapezoid in American English or a trapezium in British English. The three dimensional counterpart of a parallelogram is a parallelepiped. The word comes from the Greek παραλληλό γραμμον, parallēló grammon, which means a shape "of parallel lines".
Особые случаи
Прямоугольник – Параллелограмм с четырьмя равными углами (прямыми углами). Ромб – Параллелограмм с четырьмя равными сторонами. Любой параллелограмм, который не является ни прямоугольником, ни ромбом, традиционно назывался ромбоидом, но этот термин не используется в современной математике. Квадрат – Параллелограмм с четырьмя равными сторонами и равными углами (прямыми углами).
Rectangle – A parallelogram with four angles of equal size (right angles). Rhombus – A parallelogram with four sides of equal length. Any parallelogram that is neither a rectangle nor a rhombus was traditionally called a rhomboid but this term is not used in modern mathematics. Square – A parallelogram with four sides of equal length and angles of equal size (right angles).
Другие свойства
Противоположные стороны параллелограмма параллельны (по определению) и поэтому никогда не пересекаются. Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного одной из его диагоналей. Площадь параллелограмма также равна модулю векторного произведения двух смежных сторон. Любая прямая, проходящая через середину параллелограмма, делит его площадь пополам. Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм. Параллелограмм обладает вращательной симметрией порядка 2 (на 180°) (или порядка 4, если это квадрат). Если у него также ровно две оси симметрии, то это ромб или прямоугольник (не являющийся квадратом). Если у него четыре оси симметрии, то это квадрат. Периметр параллелограмма равен 2(a + b), где a и b – длины смежных сторон. В отличие от любого другого выпуклого многоугольника, параллелограмм нельзя вписать в треугольник, площадь которого меньше удвоенной площади параллелограмма. Центры четырех квадратов, построенных на сторонах параллелограмма как внутренним, так и внешним образом, являются вершинами квадрата. Если две прямые, параллельные сторонам параллелограмма, проведены через концы диагонали, то параллелограммы, образованные по обе стороны от этой диагонали, равны по площади. Если параллелограмм задан длинами двух смежных сторон B и C, а также длиной одной из диагоналей D1, то его площадь можно найти по формуле Герона. В частности, это
Opposite sides of a parallelogram are parallel (by definition) and so will never intersect. The area of a parallelogram is twice the area of a triangle created by one of its diagonals. The area of a parallelogram is also equal to the magnitude of the vector cross product of two adjacent sides. Any line through the midpoint of a parallelogram bisects the area. Any non degenerate affine transformation takes a parallelogram to another parallelogram. A parallelogram has rotational symmetry of order 2 (through 180°) (or order 4 if a square). If it also has exactly two lines of reflectional symmetry then it must be a rhombus or an oblong (a non square rectangle). If it has four lines of reflectional symmetry, it is a square. The perimeter of a parallelogram is 2(a + b) where a and b are the lengths of adjacent sides. Unlike any other convex polygon, a parallelogram cannot be inscribed in any triangle with less than twice its area. The centers of four squares all constructed either internally or externally on the sides of a parallelogram are the vertices of a square. If two lines parallel to sides of a parallelogram are constructed concurrent to a diagonal, then the parallelograms formed on opposite sides of that diagonal are equal in area. When the parallelogram is specified from the lengths B and C of two adjacent sides together with the length D1 of either diagonal, then the area can be found from Heron's formula. Specifically it is
где , а множитель 2 возникает из того факта, что выбранная диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника.
where and the leading factor 2 comes from the fact that the chosen diagonal divides the parallelogram into two congruent triangles.
Из координат вершины
Пусть векторы и пусть обозначает матрицу с элементами a и b. Тогда площадь параллелограмма, образованного векторами a и b, равна . Пусть векторы и пусть . Тогда площадь параллелограмма, образованного векторами a и b, равна . Пусть точки A, B и C. Тогда знаковая площадь параллелограмма с вершинами в точках A, B и C эквивалентна определителю матрицы, построенной с использованием векторов A, B и C в качестве строк, с добавлением столбца единиц в конце:
Let vectors and let denote the matrix with elements of a and b. Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to
Let vectors and let Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to
Let points Then the signed area of the parallelogram with vertices at a, b and c is equivalent to the determinant of a matrix built using a, b and c as rows with the last column padded using ones as follows:
Автомедианный треугольник
Автомедианный треугольник – это треугольник, медианы которого пропорциональны его сторонам (хотя и в другом порядке). Если ABC – автомедианный треугольник, в котором вершина A лежит напротив стороны a, G – центроид (точка пересечения медиан треугольника ABC), а AL – одна из продолженных медиан треугольника ABC, причем точка L лежит на описанной окружности треугольника ABC, то BGCL – параллелограмм.
An automedian triangle is one whose medians are in the same proportions as its sides (though in a different order). If ABC is an automedian triangle in which vertex A stands opposite the side a, G is the centroid (where the three medians of ABC intersect), and AL is one of the extended medians of ABC with L lying on the circumcircle of ABC, then BGCL is a parallelogram.
Тангентный параллелограмм эллипса
Для эллипса два диаметра называются сопряжёнными тогда и только тогда, когда касательная к эллипсу в конце одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряжённых диаметров эллипса имеет соответствующий тангенциальный параллелограмм, иногда называемый ограничивающим параллелограммом, образованный касательными к эллипсу в четырёх концах сопряжённых диаметров. Все тангенциальные параллелограммы для данного эллипса имеют одинаковую площадь. Эллипс можно восстановить по любой паре сопряжённых диаметров или по любому тангенциальному параллелограмму.
For an ellipse, two diameters are said to be conjugate if and only if the tangent line to the ellipse at an endpoint of one diameter is parallel to the other diameter. Each pair of conjugate diameters of an ellipse has a corresponding tangent parallelogram, sometimes called a bounding parallelogram, formed by the tangent lines to the ellipse at the four endpoints of the conjugate diameters. All tangent parallelograms for a given ellipse have the same area. It is possible to reconstruct an ellipse from any pair of conjugate diameters, or from any tangent parallelogram.
Лица параллелепипеда
Параллелепипед — это трехмерная фигура, все шесть граней которой являются параллелограммами.
A parallelepiped is a three dimensional figure whose six faces are parallelograms.