Жалпыланған көпбұрыштар: Қасиеттері мен жіктемелері
Generalized polygon
Жалпыланған көпбұрыштар: математикадағы инциденттік құрылымдар, проективтік жазықтықтар мен жақындағы көпбұрыштарды қамтиды. Типтік жатқан топтардан туындайды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада жалпыланған көпбұрыш – 1959 жылы Жак Титс енгізген инциденттік құрылым. Жалпыланған n-бұрыштар проективті жазықтықтарды (жалпыланған үшбұрыштар, n = 3) және жалпыланған төртбұрыштарды (n = 4) қамтиды. Көптеген жалпыланған көпбұрыштар Ли типті топтардан туындайды, бірақ осылай алуға болмайтын экзотикалық түрлері де бар. Титс пен Вайс Муфанг қасиеті деп аталатын техникалық шартты қанағаттандыратын жалпыланған көпбұрыштарды толық жіктеді. n саны жұп болған кез келген жалпыланған n-бұрыш жақын көпбұрыш болып табылады.
In mathematics, a generalized polygon is an incidence structure introduced by Jacques Tits in 1959. Generalized n gons encompass as special cases projective planes (generalized triangles, n = 3) and generalized quadrangles (n = 4). Many generalized polygons arise from groups of Lie type, but there are also exotic ones that cannot be obtained in this way. Generalized polygons satisfying a technical condition known as the Moufang property have been completely classified by Tits and Weiss. Every generalized n gon with n even is also a near polygon.
Мысалдар
Жалпыланған дигонның жиілік графигі толық екі жақты граф Ks+1,t+1 болып табылады. Кез келген n ≥ 3 табиғи саны үшін, n қабырғалы қалыпты көпбұрыштың шекарасын қарастырайық. Көпбұрыштың төбелері нүктелер, ал қабырғалары түзу сызықтар деп белгілейміз, олардың арасындағы байланыс жиынтық кірігу қатынасы арқылы анықталады. Бұл s = t = 1 болатын жалпыланған n-гонға әкеледі. 2-дәрежелі Lie типіндегі G тобының әрқайсысы үшін, n саны 3, 4, 6 немесе 8-ге тең болатын X жалпыланған n-гоны бар, мұнда G тобы X-тің флагтары жиынында транзитивті әрекет етеді. Шектелген жағдайда, n=6 үшін G2(q) үшін (q, q) ретіндегі Split Cayley алтыбұрышы және 3D4(q3) үшін (q3, q) ретіндегі бұрылған триалдық алтыбұрыш, ал n=8 үшін 2F4(q) үшін (q, q2) ретіндегі Ree-Tits сегізбұрышы алынады, мұнда q = 22n+1. Дуалдылыққа дейін, бұл ғана белгілі қалың шекті жалпыланған алтыбұрыштар немесе сегізбұрыштар болып табылады.
The incidence graph of a generalized digon is a complete bipartite graph Ks+1,t+1. For any natural n ≥ 3, consider the boundary of the ordinary polygon with n sides. Declare the vertices of the polygon to be the points and the sides to be the lines, with set inclusion as the incidence relation. This results in a generalized n gon with s = t = 1. For each group of Lie type G of rank 2 there is an associated generalized n gon X with n equal to 3, 4, 6 or 8 such that G acts transitively on the set of flags of X. In the finite case, for n=6, one obtains the Split Cayley hexagon of order (q, q) for G2(q) and the twisted triality hexagon of order (q3, q) for 3D4(q3), and for n=8, one obtains the Ree Tits octagon of order (q, q2) for 2F4(q) with q = 22n+1. Up to duality, these are the only known thick finite generalized hexagons or octagons.
Жартылай шекті жалпыланған көпбұрыштар
Егер s және t екеуі де шексіз болса, онда n-нің 2-ге тең немесе одан үлкен кез келген мәні үшін жалпыланған көпбұрыштар бар. Бір параметр шекті (және 1-ден үлкен) ал екіншісі шексіз болғанда (мұндай жағдайлар жартылай шекті деп аталады) жалпыланған көпбұрыштардың бар-жоқтығы әлі белгісіз. Питер Камерон әр түзуде үш нүктесі бар жартылай шекті жалпыланған төртбұрыштардың жоқтығын дәлелдеді, ал Андрис Браувер мен Билл Кантор тәуелсіз түрде әр түзуде төрт нүктесі бар жағдайды дәлелдеді. Г. Черлин модель теориясын қолданып, әр түзуде бес нүктесі бар жағдайдың жоқтығын дәлелдеді. Жалпыланған алтыбұрыштар немесе сегізбұрыштар үшін, тіпті әр түзуде үш нүктесі бар ең кішкентай жағдай үшін де қосымша шарттар қоймай, мұндай нәтижелер белгілі емес.
If s and t are both infinite then generalized polygons exist for each n greater or equal to 2. It is unknown whether or not there exist generalized polygons with one of the parameters finite (and bigger than 1) while the other infinite (these cases are called semi finite). Peter Cameron proved the non existence of semi finite generalized quadrangles with three points on each line, while Andries Brouwer and Bill Kantor independently proved the case of four points on each line. The non existence result for five points on each line was proved by G. Cherlin using Model Theory. No such results are known without making any further assumptions for generalized hexagons or octagons, even for the smallest case of three points on each line.
Комбинациялық қолдану
Жоғарыда айтылғандай, жалпыланған көпбұрыштардың инциденттік графиктері маңызды қасиеттерге ие. Мысалы, (s,s) реті бар кез келген жалпыланған n-бұрыш (s+1,2n) қақпақ болып табылады. Олар экспандерлік графиктермен де байланысты, себебі олардың жақсы кеңею қасиеттері бар. Жалпыланған көпбұрыштардан экстремалды экспандерлік графиктердің бірнеше кластары алынады. Рамзи теориясында жалпыланған көпбұрыштарды қолдана отырып құрастырылған графиктер, диагональдан тыс Рамзи сандарының ең жақсы белгілі конструктивті төменгі шектерін ұсынады.
As noted before the incidence graphs of generalized polygons have important properties. For example, every generalized n gon of order (s,s) is a (s+1,2n) cage. They are also related to expander graphs as they have nice expansion properties. Several classes of extremal expander graphs are obtained from generalized polygons. In Ramsey theory, graphs constructed using generalized polygons give us some of the best known constructive lower bounds on offdiagonal Ramsey numbers.