Введение

В математике обобщенный многоугольник — это инцидентная структура, введенная Жаком Титсом в 1959 году. Обобщенные n-гоны включают в себя в качестве частных случаев проективные плоскости (обобщенные треугольники, n = 3) и обобщенные четырехугольники (n = 4). Многие обобщенные многоугольники возникают из групп типа Ли, но существуют также экзотические многоугольники, которые нельзя получить таким образом. Обобщенные многоугольники, удовлетворяющие техническому условию, известному как свойство Муфанга, были полностью классифицированы Титсом и Вайсом. Каждый обобщенный n-гон с четным n также является почти многоугольником.

Примеры

Граф инцидентности обобщенного дигона является полным двудольным графом Ks+1,t+1. Для любого натурального n ≥ 3 рассмотрим границу обычного n-угольника. Определим вершины n-угольника как точки, а стороны – как линии, при этом отношение инцидентности задается включением множеств. Это приводит к обобщенному n-гону с s = t = 1. Для каждой группы типа Ли G ранга 2 существует ассоциированный обобщенный n-гон X, где n равно 3, 4, 6 или 8, такой что G действует транзитивно на множество флагов X. В конечном случае, при n=6, получается разделенный шестиугольник Кэли порядка (q, q) для G2(q) и скрученный шестиугольник триальности порядка (q3, q) для 3D4(q3), а при n=8 – восьмиугольник Ри — Тица порядка (q, q2) для 2F4(q) с q = 22n+1. С точностью до двойственности, это единственные известные толстые конечные обобщенные шестиугольники или восьмиугольники.

Полуконечные обобщенные многоугольники

Если s и t оба бесконечны, то обобщенные многоугольники существуют для каждого n, большего или равного 2. Неизвестно, существуют ли обобщенные многоугольники с одним из параметров конечным (и большим 1), а другим – бесконечным (эти случаи называются полуконечными). Питер Кэмерон доказал несуществование полуконечных обобщенных четырехугольников с тремя точками на каждой прямой, а Андрис Брауэр и Билл Кантор независимо доказали это для случая четырех точек на каждой прямой. Несуществование обобщенных четырехугольников с пятью точками на каждой прямой было доказано Г. Черлином с использованием теории моделей. Для обобщенных шестиугольников или восьмиугольников подобных результатов пока не известно, даже для простейшего случая трех точек на каждой прямой.

Комбинированные применения

Как отмечалось ранее, инцидентные графы обобщенных многоугольников обладают важными свойствами. Например, каждый обобщенный n-угольник порядка (s,s) является (s+1,2n)-клеткой. Они также связаны с экспандерными графами, поскольку имеют хорошие свойства расширения. Несколько классов экстремальных экспандерных графов получаются из обобщенных многоугольников. В теории Рамзи графы, построенные на основе обобщенных многоугольников, дают одни из лучших известных конструктивных нижних оценок для внедиагональных чисел Рамзи.