Кіріспе

Интерполяциядағы жақындасудың сәтсіздігі. Сандық талдаудың математикалық саласында Рунж құбылысы – интервалдың шеттеріндегі тербеліс мәселесі. Бұл, тең аралықтағы интерполяция нүктелері жиынтығы арқылы жоғары дәрежелі полиномдармен полиномдық интерполяция қолданғанда пайда болады. Оны Карл Дэвид Толме Рунж (1901) белгілі бір функцияларды жуықтау үшін полиномдық интерполяцияны қолданғандағы қателердің мінез-құлқын зерттеген кезде ашты. Бұл жаңалық дәрежесін арттыру әрқашан да дәлдікті жақсартпайтынын көрсетеді. Бұл құбылыс Фурье қатарларын жуықтаудағы Гиббс құбылысына ұқсас.

Кіріспе

Вейерштрасс аппроксимация теоремасы [a, b] аралығында анықталған кез келген үздіксіз f(x) функциясы үшін, n=0, 1, 2, … үшін, ең жоғары дәрежесі n болатын Pn(x) көпмүшеліктерінің жиынтығы бар екенін айтады, бұл жиынтық n шексізге ұмтылғанда [a, b] аралығында f(x) функциясына біркелкі жақындасады, яғни:

Егер f(x) функциясының n+1 тең аралықтағы нүктелері арқылы өтетін n дәрежелі Pn(x) көпмүшелігін пайдаланып интерполяция жасау қажет болса, онда Вейерштрасс теоремасынан көбірек нүктелер қолдану f(x) функциясын дәлірек қалпына келтіруге мүмкіндік береді деп күтуге болады. Дегенмен, осы Pn(x) көпмүшеліктері жиынтығының біркелкі жақындасу қасиетіне ие екендігіне кепілдік жоқ; теорема тек мұндай көпмүшеліктер жиынтығының бар екенін көрсетеді, бірақ оны табудың жалпы әдісін ұсынбайды. Осылайша алынған Pn(x) көпмүшеліктері n өскен сайын f(x) функциясынан алшақтауы мүмкін; мұндай жағдай интерполяция нүктелерінің шеттеріне жақын амплитудасы артатын тербеліс түрінде көрінеді. Бұл құбылыстың ашылуы Рунге есімімен байланысты.

Интерполяциялық нүктелердің өзгеруі

Асқынуды интервалдың шеттеріне қарай тығыз орналастырылған түйіндерді пайдалану арқылы азайтуға болады, әсіресе, интервал бойынша асимптотикалық тығыздығы формуламен берілген түйіндер жиынтығы. Мұндай түйіндер жиынтығының стандартты мысалы – Чебишев түйіндері, олар үшін Рунж функциясын жуықтаудағы максималды қате полиномның дәрежесі артаған сайын кемитіні кепілдік беріледі.

S-Runge алгоритмі қайта іріктеусіз

Егер жақсы қасиеттері бар түйіндер жиынында қайта үлгілеу мүмкін болмағандықтан, бірдей қашықтықтағы үлгілерді қолдану қажет болса, S Runge алгоритмін қарастыруға болады. Бұл тәсілде бастапқы түйіндер жиыны Чебышев түйіндері жиынына бейімделеді, бұл тұрақты полиномдық реконструкцияны қамтамасыз етеді. Бұл әдістің ерекшелігі – бейімделген түйіндерде қайта үлгілеудің қажеті жоқ, олар сондай-ақ «жалған түйіндер» деп те аталады. Осы процедураның Python-дағы іске асырылуын мына жерден табуға болады.

Бөлшекше полиномиалдарды қолдану

Бұл мәселені бөлшектік көпмүшелерден құралған сплайн қисықтарын қолдану арқылы болдырмауға болады. Интерполяция қатесін азайту үшін полиномдардың дәрежесін арттырудың орнына, сплайн құрастыруға қолданылатын полином бөліктерінің санын арттыруға болады.

Шектелген азайту

Сондай-ақ, жоғары дәрежелі полиномиалды қолдануға болады (мысалы, нүктелердің саны болғанда реттік полиномиалды қолдану орнына) және интерполяциялық полиномиалды қолдануға болады, оның бірінші (немесе екінші) туындысы минималды нормаға ие. Осыған ұқсас тәсіл – полиномияның туындысы мен оның туындысының орташа мәні арасындағы қашықтықтың шектелген түрін азайту. Нақтырақ айтқанда, мынаны азайту қажет:

мұнда және , полиномия коэффициенттері мен Лагранж көбейткіштеріне қатысты. қабылдағанда, Лагранж көбейткіштері арқылы туындаған шектеу теңдеулері барлық нүктелер арқылы өтетін ең төменгі дәрежелі полиномиалға дейін тобыққан болады. Ал керісінше, жақындау бөлшектік полиномиалдарға ұқсас формаға айналады. Мәселен, сызықтық бөлшектік полиномиалдарға жақындағанда, яғни интерполяциялық нүктелерді түзу сызықтармен қосығанда. Минимизация процесінде ойнайтын рөлі – орташа мәннен ауытқулардың мөлшеріне қатысты маңыздылықты реттеу. неғұрлым үлкен болса, ауытқулардың үлкені кішкентайларына қарағанда соғұрлым жазаланады. Евклид нормасының ең үлкен артықшылығы – ол аналитикалық шешімдерге мүмкіндік береді және тек бір ғана минимум болатынын кепілдейді. болғанда, көптеген минимумдар болуы мүмкін, сондықтан табылған минимумның жергілікті емес, жаһандық екеніне көз жеткізу қиын.

Ең кіші квадраттар

Тағы бір әдіс – ең кіші квадраттар әдісін қолданып, төменгі дәрежелі полиномға сәйкес келтіру. Әдетте, бір-бірінен тең арақашықтықта орналасқан нүктелерді қолданғанда, егер жағдай жақсы болса, ең кіші квадраттар бойынша жуықтау жақсы анықталған болады.

Бернштейн полиномы

Бернштейн полиномдарын қолдану арқылы, жабық аралықтағы кез келген үздіксіз функцияны біркелкі жақындастыруға болады, алайда бұл әдіс есептеулер тұрғысынан өте шығынды.

Сыртқы жалған шектеулер интерполяциясы

Бұл әдіс интерполяциялық интервалдың әр жағындағы соңғы нүктелерге жақын сыртқы орналастырылған түйіндерде 1=P″(x) = 0 түріндегі шектеулердің тығыз таралымын оптималды түрде жинақтауды ұсынады, мұнда P″(x) – интерполяциялық полиномның екінші туындысы. Бұл шектеулер Сыртқы Жалған Шектеулер деп аталады, себебі олар интерполяциялық аралыққа жатпайды және Рунж функциясының мінез-құлқымен сәйкес келмейді. Әдіс, Рунж құбылысын жеңілдету үшін бөлшектелген көпмүшелерге (сплайндарға) қарағанда жақсырақ интерполяция нәтижелерін көрсетті.

Апроксимация теориясының байланысты тұжырымдары

Интерполяциялық түйіндердің әрбір алдын ала анықталған кестесі үшін, сол түйіндердегі интерполяциялық көпмүшелер тізбегінің жинақталмайтын үздіксіз функциясы бар. Кез келген үздіксіз функция үшін интерполяция процесінің жинақталуын қамтамасыз ететін түйіндер кестесі табылады. Чебышев интерполяциясы (яғни, Чебышев түйіндерінде) кез келген абсолютті үздіксіз функция үшін біркелкі жинақталады.