Кіріспе

Алгоритмдерді сандық жуықтауды қолдана отырып зерттеу

Сандық талдау – математикалық талдау мәселелері үшін сандық жуықтау (символдық манипуляцияларға қарама-қарсы) қолданатын алгоритмдерді зерттеу (дискреттік математикадан ерекшеленеді). Бұл нақты емес, мәселелердің шамамен шешімін табуға тырысатын сандық әдістерді зерттеу. Сандық талдау инженерлік және физикалық ғылымдардың барлық салаларында, сондай-ақ 21 ғасырда өмір және әлеуметтік ғылымдар, медицина, бизнес және тіпті өнер саласында қолданылады. Есептеу қуатының қазіргі өсуі ғылым мен техникада егжей-тегжейлі және реалистік математикалық модельдерді ұсынатын, сандық талдаудың күрделілігін арттырды. Сандық талдау мысалдары: аспан механикасында (планеталардың, жұлдыздардың және галактикалардың қозғалысын болжау) кездесетін қалыпты дифференциалдық теңдеулер, деректерді талдаудағы сандық сызықтық алгебра, медицина мен биологияда тірі жасушаларды модельдеу үшін стохастикалық дифференциалдық теңдеулер және Марков тізбектері. Қазіргі заманғы компьютерлер пайда болғанға дейін сандық әдістер көбінесе үлкен басылған кестелерден алынған деректерді пайдалана отырып, қолмен интерполяция формулаларына сүйенді. 20 ғасырдың ортасынан бері компьютерлер қажетті функцияларды есептейді, бірақ сол формулалардың көптегені бағдарламалық алгоритмдерде қолданыла береді. Сандық көзқарас математиканың ең ерте жазбаларына дейін жетеді. Йель Вавилондық жинағынан (YBC 7289) алынған тақташада 2-нің квадрат түбірінің секстезималдық сандық жуықтамасы, бірлік шаршыдағы диагональдің ұзындығы келтірілген. Сандық талдау осы ұзақ дәстүрді жалғастырады: цифрларға аударылған және тек нақты әлемдегі өлшемдерге ғана қолданылатын нақты символдармен жауап берудің орнына, белгілі бір қателік шегінде шамамен есептелген шешімдер қолданылады.

Кондиционерлеу

Жаман шартталған мәселе: Функцияның мөлшері = 100% деп қарастырайық. f(1.1) = 10 және f(1.001) = 1000: x-тің 0,1-ден аз өзгеруі f(x)-тің шамамен 1000-ға өзгеруіне алып келеді. f(x)-ті x = 1-ге жақын есептеу – нашар шартталған мәселе. Жақсы шартталған мәселе: Керісінше, дәл осы функцияның мөлшері = 100% x = 10-ға жақын есептелуі жақсы шартталған мәселе болып табылады. Мысалы, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 және f(11) = 0.1: x-тің шағын өзгеруі f(x)-тің де шағын өзгеруіне әкеледі.

Дискреттеу

Сонымен қатар, үздіксіз проблемалар кейде дискретті проблемамен алмастырылуы керек, оның шешімі үздіксіз проблеманың шешімін шамамен анықтайды; осы процесс "дискреттеу" деп аталады. Мысалы, дифференциалдық теңдеудің шешімі – функция. Бұл функцияны деректердің шектеулі мөлшерімен көрсету қажет, мысалы, оның доменіндегі шектеулі нүктелердегі мәні арқылы, тіпті осы домен үздіксіз болса да.

Қателерді жасау және тарату

Қателерді зерттеу сандық талдаудың маңызды бөлігі болып табылады. Проблеманы шешу кезінде қателердің пайда болуының бірнеше себебі бар.

Дөңгелектеу

Дөңгелектеу қателері шекті жадысы бар машинада (барлық қолданыстағы цифрлық компьютерлер осы сипатта) барлық нақты сандарды толыққанды көрсету мүмкін болмағандықтан туындайды.

Шектеу және дискреттеу қатесі

Кесілу қателері итерациялық әдіс тоқтатылғанда немесе математикалық процедура жуықталғанда, ал жуықталған шешім нақты шешімнен өзгеше болғанда туындайды. Сол сияқты, дискреттеу дискреттеу қатесін тудырады, себебі дискретті есептің шешімі үздіксіз есептің шешімімен сәйкес келмейді. Жоғарыдағы мысалда, шешімін табу үшін, он итерациядан кейін есептелген түбір шамамен 1,99-ға тең. Демек, кесілу қатесі шамамен 0,01 құрайды. Қате пайда болғаннан кейін, ол есептеулер барысында таралады. Мысалы, компьютерде + операциясы нақты емес. a+b+c+d+e түріндегі есептеу одан да дәл емес болады. Математикалық процедураны жуықтау кезінде кесілу қатесі пайда болады. Функцияны дәл интегралдау үшін аймақтардың шексіз қосындысын табу қажет, бірақ сандық түрде тек аймақтардың шекті қосындысын табу мүмкін, демек нақты шешім жуықталады. Сол сияқты, функцияны дифференциалдау үшін дифференциалдық элемент нөлге жақындаса, сандық түрде дифференциалдық элементтің нөлден өзге мәнін ғана таңдауға болады.

Сандық тұрақтылық және дұрыс қойылған мәселелер

Егер қате, оның себебі қандай болса да, есептеу барысында күрт үлкеймесе, алгоритм сандық тұрақты деп аталады. Бұл мәселе жақсы шартталған жағдайда болады, яғни мәселенің бастапқы деректері аз ғана өзгерсе, шешімі де аз ғана өзгереді. Регрессия да осыған ұқсас, бірақ ол деректердің дәлдігі төмен екенін ескереді. Егер бірнеше нүктелер және осы нүктелердегі белгілі бір функцияның мәні өлшенсе (қателікпен), белгісіз функцияны табу мүмкін. Ең кіші квадраттар әдісі – осы мақсатқа жетудің бір жолы.

Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешу

Тағы бір негізгі мәселе – берілген теңдеудің шешімін есептеу. Теңдеудің сызықтық немесе сызықтық емес екендігіне қарай, екі жағдай жиі ажыратылады. Мысалы, теңдеу сызықтық, ал теңдеу сызықтық емес. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін әзірлеуге көп күш жұмсалды. Стандартты тікелей әдістер, яғни матрицаны ыдыратуға негіделген әдістер – Гаусс жоюы, ЛУ ыдырауы, симметриялық (немесе гермиттік) және оң белгілі матрицалар үшін Чолески ыдырауы, ал квадрат емес матрицалар үшін QR ыдырауы. Үлкен жүйелер үшін Якоби әдісі, Гаусс-Зейдель әдісі, кезекті релаксация және конъюгациялық градиент әдісі сияқты итеративтік әдістер көбінесе артықшылыққа ие. Матрицаны бөлу арқылы жалпы итеративтік әдістерді құруға болады. Сызықтық емес теңдеулерді шешу үшін түбір табу алгоритмдері қолданылады (олар функцияның түбірі функцияны нөлге тең ететін аргумент болғандықтан осылай аталады). Егер функция дифференциалданатын болса және туындысы белгілі болса, онда Ньютон әдісі кең таралған таңдау болып табылады. Сызықтық емес теңдеулерді шешудің тағы бір тәсілі – сызықтықтандыру.

Өзіндік немесе даралық мәндер мәселелерін шешу

Бірнеше маңызды мәселелерді өзіндік мәндерге немесе дара мәндерге жіктеу арқылы түсіндіруге болады. Мысалы, спектрлік кескінді сығу алгоритмі дара мәндерге жіктеуге негізделген. Статистикадағы осыған сәйкес құрал – негізгі компоненттерді талдау.

Оңтайландыру

Оптимизациялау мәселелері берілген функцияның ең жоғарғы (немесе ең төменгі) мәніне ие нүктені табуды талап етеді. Көбінесе, бұл нүкте белгілі бір шектеулерді қанағаттандыруы тиіс. Оптимизациялау саласы мақсатты функция мен шектеулердің түріне қарай бірнеше тармаққа бөлінеді. Мысалы, сызықтық бағдарламалау мақсатты функцияның да, шектеулердің де сызықтық болу жағдайын қарастырады. Сызықтық бағдарламалаудағы белгілі бір әдіс – симплекс әдісі. Лагранж көбейтушілері әдісі шектеулермен берілген оптимизациялау мәселелерін шектеусіз оптимизациялау мәселелеріне келтіруге мүмкіндік береді.

Интегралдарды бағалау

Сандық интеграция, кейбір жағдайларда сандық квадрат деп те аталады, белгілі бір интегралдың мәнін табуға арналған. Көп қолданылатын әдістер Ньютон-Котс формулаларының бірін (мысалы, орта нүкте ережесі немесе Симпсон ережесі) немесе Гаусс квадраттурасын пайдаланады. Бұл әдістер "бөліп талқандау" стратегиясына негізделген, онда салыстырмалы түрде үлкен жиынтақтағы интеграл кішірек жиынтақтағы интегралдарға жіктеледі. Жоғары өлшемдерде, мұндай әдістер есептеу шығындарының артуына байланысты тым қымбатқа түсетін болса, Монте-Карло немесе квази Монте-Карло әдістерін (Монте-Карло интеграциясын қараңыз) немесе орташа өлшемдерде сирек тор әдісін қолдануға болады.

Дифференциалдық теңдеулер

Сандық талдау дифференциалдық теңдеулердің – яғни, қалыпты дифференциалдық теңдеулердің де, және дербес дифференциалдық теңдеулердің де шешімін шамамен есептеумен де айналысады. Дербес дифференциалдық теңдеулер теңдеуді дискреттеу арқылы, оны шекті өлшемді кеңістікке келтіру арқылы шешіледі. Бұл шекті элементтер әдісімен, шекті айырмашылықтар әдісімен немесе (әсіресе инженерлік саласында) шекті көлемдер әдісімен іске асырылуы мүмкін. Осы әдістердің теориялық негіздемесі көбінесе функционалдық талдаудан теоремаларды қамтиды. Бұл мәселені алгебралық теңдеуді шешуге дейін тоғытады.

Журналдар

Numerische Mathematik, 1-ші томнан бастап, Springer, 1959–
1-66 томдары, 1959–1994 (іздеуге болады; беттері суреттер түрінде). Сандық талдау журналы (SINUM), 1-ші томнан бастап, SIAM, 1964–

Онлайн мәтіндер

Сандық рецепттер, Уильям Х. Пресс (тегін, жүктеуге болатын бұрынғы басылымдар)
Сандық талдаудың алғашқы қадамдары (архивтелген), Р. Дж. Хоскинг, С. Джо, Д. С. Джойс және Дж. С. Тернер
CSEP (Есептеу ғылымы білім беру жобасы), АҚШ Энергетика департаменті (2017 08 01 күні архивтелген)
Сандық әдістер, 3-тарау. Цифрлық математикалық функциялар кітапханасында
Сандық интерполяция, дифференциалдау және интегралдау, 25-тарау. Математикалық функциялар анықтамалығында (Абрамовиц және Стегун)