Кіріспе

Белгілі деректер нүктелері арасында жаңа деректерді бағалау әдісі. Сандық талдау математикасының саласында интерполяция – бұл бағалаудың бір түрі, дискретті белгілі деректер жиынының диапазоны негізінде жаңа деректер нүктелерін құру (табу) әдісі. Инженерлік және ғылыми салаларда көбінесе үлгі алу немесе тәжірибелер арқылы алынған деректердің бірнеше нүктелері болады, олар тәуелсіз айнымалының шектеулі саны үшін функцияның мәнін көрсетеді. Көбінесе аралық интерполяция қажет болады, яғни тәуелсіз айнымалының аралық мәні үшін осы функцияның мәнін бағалау. Бұл мәселеге ұқсас, күрделі функцияны қарапайым функциямен жуықтау мәселесі де бар. Егер қандай да бір функцияның формуласы белгілі болса, бірақ оны тиімді есептеу үшін тым күрделі болса, бастапқы функциядан алынған бірнеше дерек нүктелерін интерполяциялау арқылы қарапайым функция жасауға болады, ол түпнұсқаға жеткілікті жақын болады. Нәтижедегі қарапайымдылықтың артықшылығы интерполяция қатесінен туындаған шығындардан асып, есептеу процесінде жақсы нәтиже беруі мүмкін.

Бөлшек бойынша тұрақты интерполяция

Ең қарапайым интерполяция әдісі – ең жақын дерек мәнін табу және сол мәнді беру болып табылады. Қарапайым есептерде бұл әдіс қолданылуы аз ғана мүмкін, себебі сызықтық интерполяция (төменде қараңыз) шамалы оңайрақ, бірақ жоғары өлшемді көп айнымалы интерполяцияда оның жылдамдығы мен қарапайымдылығы үшін тиімді таңдау болуы мүмкін.

Полиномдық интерполяция

Полиномиялық интерполяция – сызықтық интерполяцияның жалпылауы. Сызықтық интерполянт сызықтық функция екенін ескеріңіз. Енді осы интерполянтты жоғары дәрежелі полиноммен алмастырамыз. Жоғарыдағы мәселені қайта қарастырайық. Келесі алтыншы дәрежелі көпмүше барлық жеті нүкте арқылы өтеді:

x = 2.5 мәнін қойғанда, f(2.5) = ~0.59678 екенін табамыз. Жалпы, егер n дерек нүктесі болса, онда барлық дерек нүктелері арқылы өтетін, ең көп дегенде n-1 дәрежелі бір ғана полином болады. Интерполяция қатесі дерек нүктелері арасындағы қашықтықтың n-ші дәрежесіне пропорционал. Сонымен қатар, интерполянт – полином болғандықтан, шексіз дифференциалданады. Осылайша, полиномиялық интерполяция сызықтық интерполяцияның көптеген кемшіліктерін жояды. Дегенмен, полиномиялық интерполяцияның да өз кемшіліктері бар. Интерполяциялық полиномды есептеу, сызықтық интерполяцияға қарағанда есептеу жағынан қиын (есептеу күрделігін қараңыз). Сонымен қатар, полиномиялық интерполяция, әсіресе соңғы нүктелерде, тербеліс тәрізді артефакттарды көрсетуі мүмкін (Рунге құбылысын қараңыз). Полиномиялық интерполяция, сызықтық интерполяциядан айырмашылығы, үлгілердің диапазонынан тыс жергілікті максимумдар мен минимумдарды бағалауға мүмкіндік береді. Мысалы, жоғарыда көрсетілген интерполянттың жергілікті максимумы x ≈ 1.566, f(x) ≈ 1.003 және жергілікті минимумы x ≈ 4.708, f(x) ≈ −1.003. Алайда, бұл максимумдар мен минимумдар функцияның теориялық диапазонынан асып кетуі мүмкін; мысалы, әрқашан оң болатын функцияда теріс мәндері бар интерполянт болуы мүмкін, соның салдарынан оның кері функциясында жалған тік асимптоталар пайда болады. Жалпы алғанда, алынған қисықтың пішіні, әсіресе тәуелсіз айнымалының өте жоғары немесе төмен мәндері үшін, ақылға қонымсыз болуы мүмкін; яғни, дерек нүктелерін жасаған тәжірибелік жүйе туралы белгілі нәрсеге қайшы келуі мүмкін. Бұл кемшіліктерді сплина интерполяциясын қолдану немесе Чебышев полиномдарына назар аудару арқылы азайтуға болады.

Сплин интерполяциясы

Сызықтық интерполяция [xk, xk+1] аралықтарының әрқайсысы үшін сызықтық функция қолданады. Сплайн интерполяциясы әрбір аралықта төмен дәрежелі полиномдарды пайдаланады және полиномдардың бөліктерін бір-біріне тегіс жалғанатындай етіп таңдайды. Нәтижесінде алынған функция сплайн деп аталады. Мысалы, табиғи кубтық сплайн бөлшектік кубтық және екі рет үздіксіз дифференциалданатын болады. Оның екінші туындысы соңғы нүктелерде нөлге тең. Жоғарыдағы кестедегі нүктелерді интерполяциялайтын табиғи кубтық сплайн былай берілген:

Бұл жағдайда f(2.5) = 0.5972. Полиномдық интерполяция сияқты, сплайн интерполяциясы сызықтық интерполяцияға қарағанда кіші қателікке ие, ал интерполянт полиномдық интерполяцияда қолданылатын жоғары дәрежелі полиномдарға қарағанда тегіс және есептеуге оңай. Дегенмен, базалық функциялардың жаһандық сипаты нашар шартталуға алып келеді. Бұл, Boost.Math-та іске асырылған және Кресс талқылағандай, шектеулі тірегі бар сплайнды пайдалану арқылы толығымен жойылады.

Миметикалық интерполяция

Өрістердің дискреттеуіне байланысты әртүрлі интерполянттар қажет болуы мүмкін. Мақсатты нүктелердегі функцияларды бағалайтын басқа интерполяция әдістерінен айырмашылығы, миметикалық интерполяция өрістің түріне байланысты (скалярлық, векторлық, псевдовекторлық немесе псевдоскалярлық) мақсатты сызықтардағы, аудандардағы немесе көлемдердегі өрістердің интегралын бағалайды. Миметикалық интерполяцияның басты ерекшелігі – векторлық есептеулердегі сәйкестіктер, оның ішінде Стокс теоремасы және дивергенция теоремасы орындалады. Осының нәтижесінде миметикалық интерполяция сызық, аудан және көлем интегралдарын сақтайды. Мысалы, электр өрісін интерполяциялау кезінде сызықтық интегралдарды сақтау қажет болуы мүмкін, себебі сызықтық интеграл интеграция жолының соңғы нүктелеріндегі электр потенциалының айырмасын көрсетеді. Миметикалық интерполяция электр өрісінің сызықтық интегралын бағалау қатесі, интеграция жолының ұзындығына қарамастан, интеграция жолының соңғы нүктелеріндегі потенциалды интерполяциялаудан алынған қатеге тең болатынын қамтамасыз етеді. Сызықтық, билинейрлік және трилинейрлік интерполяция да миметикалық болып саналады, тіпті егер өрістің мәндері сақталса да (өрістің интегралы емес). Сызықтық интерполяциядан басқа, ауданға салмақталған интерполяцияны дамимикалық интерполяция әдістерінің бірі ретінде қарастыруға болады.

Функцияның шамалауы

Интерполяция – функцияларды жуықтаудың жиі қолданылатын әдісі. Егер функция және нүктелер жиынтығы берілген болса, онда осы нүктелерде (яғни, берілген нүктелер арқылы өтетін) функция құрастырылуы мүмкін. Әдетте, интерполяциялық функция жақсы жуықтама болуы міндетті емес, бірақ белгілі және көбінесе орынды жағдайлар бар, онда ол жақсы жуықтама болады. Мысалы, егер (төрт рет үздіксіз дифференциалданатын) болса, онда кубикалық сплайн интерполяциясының қатесі мына формуламен беріледі: , мұнда және – тұрақты шама.

Гаусс процестері арқылы

Гаусс процесі – қуатты сызықтық емес интерполяция құралы. Көптеген танымал интерполяция құралдары, шындығында, нақты Гаусс процестерімен баламалы. Гаусс процестерін берілген дерек нүктелерінен өтетін интерполянтты құру үшін ғана емес, сонымен қатар регрессия үшін де қолдануға болады, яғни шулы деректер арқылы қисық сызу үшін. Геостатистика саласында Гаусс процесінің регрессиясы Кригинг деп белгілі.

Басқа нысандар

Интерполяцияның басқа түрлерін интерполяцияның өзге класын таңдау арқылы құруға болады. Мысалы, рационалдық интерполяция – Паде жуықтауын қолдана отырып, рационалдық функциялар арқылы интерполяция, ал тригонометриялық интерполяция – Фурье қатарларын қолдана отырып, тригонометриялық көпмүшелер арқылы интерполяция. Тағы бір мүмкіндік – толқыншаларды пайдалану. Егер дерек нүктелерінің саны шексіз болса немесе интерполяцияланатын функцияның қолдауы шектеулі болса, Уиттакер-Шеннон интерполяция формуласын қолдануға болады. Кейде біз интерполяциялауға тиіс функцияның мәнін ғана емес, сонымен қатар оның туындысын да білеміз. Бұл Гермит интерполяциялық есептеріне алып келеді. Әрбір дерек нүктесі өзі функция болған жағдайда, интерполяция есебін әрбір дерек нүктесі арасындағы ішінара адвекция есебі ретінде қарастыру пайдалы болуы мүмкін. Бұл идея көліктік теорияда қолданылатын ығысу интерполяциясы есебіне әкеледі.

Жоғары өлшемдер

Көпөлшемді интерполяция — бірнеше айнымалы функцияның интерполяциясы. Әдістеріне екі өлшемдегі билинейлік және бикубтық интерполяция, үш өлшемдегі трилинейлік интерполяция жатады. Оларды торлы немесе шашыраңқы деректерге қолдануға болады. Миметикалық интерполяция - өлшемдік кеңістіктерге жалпыланады, мұнда .

Цифрлық сигналдарды өңдеуде

Цифрлық сигналдарды өңдеу саласында интерполяция термині түрлі цифрлық сүзгілеу әдістерін (мысалы, жиілігі шектеулі импульстік сигналмен конволюция) қолдана отырып, дискретті цифрлық сигналды (мысалы, дискретті аудио сигналды) жоғары дискретизация жылдамдығына (Upsampling) түрлендіру процесін білдіреді. Бұл қолданбада бастапқы сигналдың гармоникалық құрамын сақтап қалу және бастапқы сигналдың дискретизация жиілігінің Никвист шегінен жоғары (яғни бастапқы сигналдың дискретизация жылдамдығының fs/2-ден жоғары) жаңа, бұрмаланған гармоникалық құрамдардың пайда болуын болдырмау қажеттілігі бар. Осы тақырып бойынша алғашқы және қарапайым талқылауды Рабинер мен Крошиердің "Көп жылдамдықты цифрлық сигналдарды өңдеу" кітабында кездестіруге болады.

Қарым-қатынас ұғымдары

Экстраполяция термині белгілі деректер нүктелерінің диапазонынан тыс жатқан деректер нүктелерін табу үшін қолданылады. Эйістікке сәйкес келу мәселелерінде интерполянттың дерек нүктелері арқылы міндетті түрде өтуі керек деген талап жеңілдетіледі. Ол дерек нүктелеріне мүмкіндігінше жақын болуы керек (басқа шектеулерді ескере отырып). Бұл үшін потенциалды интерполянттарды параметрлеу және қателіктерді өлшеудің бір жолы қажет. Ең қарапайым жағдайда бұл ең кіші квадраттар тәсіліне әкеледі. Жақындастыру теориясы белгілі бір сыныптағы басқа функция арқылы берілген функцияға ең жақсы жақындастыруды қалай табуға болатынын және осы жақындастырудың дәлдігін зерттейді. Бұл интерполянттың белгісіз функцияны қаншалықты дәл жақындастыра алатынының шегін анық көрсетеді.

Жалпылау

Егер топологиялық кеңістіктегі айнымалы ретінде қарастырсақ, және функция Банах кеңістігіне бейнелесе, онда бұл мәселе "операторлар интерполяциясы" деп қарастырылады. Операторлар интерполяциясы бойынша классикалық нәтижелер — Риесс-Торин теоремасы және Марцинкевич теоремасы. Сонымен қатар, одан кейін көптеген нәтижелер алынған.