Кіріспе
Сандық талдау және ғылыми есептеуде ДЕТ/ИДТ-ні шешуге қолданылатын әдістер класы. Спектрлік әдістер – қолданбалы математика және ғылыми есептеуде белгілі бір дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешу үшін қолданылатын әдістер класы. Идеясы – дифференциалдық теңдеудің шешімін белгілі бір "негізгі функциялардың" қосындысы түрінде жазу (мысалы, синусоидалардың қосындысы болып табылатын Фурье қатарлары ретінде), содан кейін дифференциалдық теңдеуді мүмкіндігінше қанағаттандыру үшін қосындыдағы коэффициенттерді таңдау. Спектрлік әдістер мен шекті элементтер әдістері тығыз байланысты және бірдей идеяларға негізделген; олардың арасындағы басты айырмашылық – спектрлік әдістер жалпы алғанда бүкіл доменде нөлден өзгеше болатын негізгі функцияларды қолданады, ал шекті элементтер әдістері шағын субдомендерде ғана нөлден өзгеше болатын негізгі функцияларды қолданады (жинақы қолдау). Сәйкесінше, спектрлік әдістер айнымалыларды жаһандық түрде байланыстырады, ал шекті элементтер – жергілікті түрде. Осы себепті спектрлік әдістердің қателік қасиеттері өте жақсы, шешім тегіс болғанда "экспоненциалдық конвергенция" деп аталатын ең жылдам мүмкін болатын нəтижеге жетеді. Дегенмен, үш өлшемді бір домендегі спектрлік соққыны анықтау нәтижелері жоқ (соққы толқындары тегіс емес). Шекті элементтер қауымдастығында элементтердің дәрежесі өте жоғары немесе тор параметрі h өскен сайын өсетін әдіс кейде спектрлік элементтер әдісі деп аталады. Спектрлік әдістер дифференциалдық теңдеулерді (ИДТ, ДЕТ, өзіндік мәндер және т.б.) және оптимизация мәселелерін шешу үшін қолданылуы мүмкін. Уақытқа тәуелді ИДТ-ге спектрлік әдістерді қолданғанда, шешім әдетте уақытқа тәуелді коэффициенттері бар негізгі функциялардың қосындысы түрінде жазылады; оны ИДТ-де ауыстыру коэффициенттердегі ДЕТ жүйесін береді, оны ДЕТ үшін кез келген сандық әдіс арқылы шешуге болады. ДЕТ үшін өзіндік мән мәселелері ұқсас матрицалық өзіндік мән мәселелеріне айналады. Спектрлік әдістер Стивен Орсагтың 1969 жылдан бастап жариялаған көптеген мақалаларында дамытылды, оларға геометриялық периодтық мәселелер үшін Фурье қатарлары әдістері, шекті және шексіз геометриялық мәселелер үшін полиномдық спектрлік әдістер, жоғары сызықтық емес мәселелер үшін псевдоспектрлік әдістер және тұрақты күйдегі мәселелерді жылдам шешу үшін спектрлік итерациялық әдістер кіреді, бірақ олармен шектелмейді. Спектрлік әдістің іске асырылуы көбінесе колокация, Галеркин немесе Тау әдісі арқылы жүзеге асырылады. Өте кішкентай мәселелер үшін спектрлік әдіс бірегей болып табылады, өйткені шешімдерді символдық түрде жазуға болады, бұл дифференциалдық теңдеулер үшін қатарлы шешімдерге практикалық балама ұсынады. Спектрлік әдістер шекті элементтер әдістеріне қарағанда есептеу жағынан арзан және оңайрақ іске асырылуы мүмкін; олар қарапайым домендерде тегіс шешімдермен жоғары дәлдік қажет болғанда ең жақсы нәтиже береді. Алайда, олардың жаһандық сипатына байланысты, қадамдық есептеумен байланысты матрицалар тығыз болады және бостандық дәрежелері көп болғанда есептеу тиімділігі тез төмендейді (кейбір ерекшеліктер бар, мысалы, матрицалық операцияларды Фурье түрлендіруі ретінде жазуға болады). Үлкен мәселелер және тегіс емес шешімдер үшін шекті элементтер әдетте жақсы жұмыс істейді, себебі оларда сирегірек матрицалар болады және үзілістер мен өткір бұрылыстарды жақсы модельдеуге мүмкіндік бар.
Spectral methods are a class of techniques used in applied mathematics and scientific computing to numerically solve certain differential equations. The idea is to write the solution of the differential equation as a sum of certain "basis functions" (for example, as a Fourier series which is a sum of sinusoids) and then to choose the coefficients in the sum in order to satisfy the differential equation as well as possible. Spectral methods and finite element methods are closely related and built on the same ideas; the main difference between them is that spectral methods use basis functions that are generally nonzero over the whole domain, while finite element methods use basis functions that are nonzero only on small subdomains (compact support). Consequently, spectral methods connect variables globally while finite elements do so locally. Partially for this reason, spectral methods have excellent error properties, with the so called "exponential convergence" being the fastest possible, when the solution is smooth. However, there are no known three dimensional single domain spectral shock capturing results (shock waves are not smooth). In the finite element community, a method where the degree of the elements is very high or increases as the grid parameter h increases is sometimes called a spectral element method. Spectral methods can be used to solve differential equations (PDEs, ODEs, eigenvalue, etc) and optimization problems. When applying spectral methods to time dependent PDEs, the solution is typically written as a sum of basis functions with time dependent coefficients; substituting this in the PDE yields a system of ODEs in the coefficients which can be solved using any numerical method for ODEs. Eigenvalue problems for ODEs are similarly converted to matrix eigenvalue problems
Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady state problems. The implementation of the spectral method is normally accomplished either with collocation or a Galerkin or a Tau approach For very small problems, the spectral method is unique in that solutions may be written out symbolically, yielding a practical alternative to series solutions for differential equations. Spectral methods can be computationally less expensive and easier to implement than finite element methods; they shine best when high accuracy is sought in simple domains with smooth solutions. However, because of their global nature, the matrices associated with step computation are dense and computational efficiency will quickly suffer when there are many degrees of freedom (with some exceptions, for example if matrix applications can be written as Fourier transforms). For larger problems and nonsmooth solutions, finite elements will generally work better due to sparse matrices and better modelling of discontinuities and sharp bends.
Алгоритм
g-дің Фурье түрлендірмесін (bj,k) есептеңіз. f-тің Фурье түрлендірмесін (aj,k) формула арқылы есептеңіз. (aj,k) кері Фурье түрлендірмесін алу арқылы f-ті есептеңіз. Бізге тек жиіліктердің шекті терезесі (мысалы, n мөлшерінде) ғана қажет болғандықтан, бұл жылдам Фурье түрлендіру алгоритмін қолдану арқылы жасалуы мүмкін. Сондықтан, алгоритм жалпы алғанда O(n log n) уақытында жұмыс істейді.
Compute the Fourier transform (aj,k) of f via the formula Compute f by taking an inverse Fourier transform of (aj,k). Since we're only interested in a finite window of frequencies (of size n, say) this can be done using a fast Fourier transform algorithm. Therefore, globally the algorithm runs in time O(n log n).
Спектрлік элемент әдісімен байланыс
Егер функция шексіз дифференциалданатын болса, онда жылдам Фурье түрлендірулерін қолданатын сандық алгоритм, тордың өлшемі h-қа қарағанда кез келген полиномнан жылдамрақ жақындасады. Яғни, кез келген n>0 үшін, жеткілікті кішкентай h мәндері үшін қате шамасы кем болады. Спектрлік әдіс кез келген n>0 үшін -ретті болып саналады. Спектрлік элемент әдісі өте жоғары дәрежелі шекті элемент әдісі болғандықтан, жақындасу қасиеттерінде ұқсастық бар. Дегенмен, спектрлік әдіс нақты шекаралық мәселенің өзіндік мәндеріне негізделген, ал шекті элемент әдісі бұл ақпаратты пайдаланбайды және кез келген эллипстік шекаралық мәселелер үшін қолданылады.