Сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулерді шешу әдісі
Boundary element method
Шекаралық элементтер әдісі (BEM) – сызықтық дербес дифференциал теңдеулерді шешуге арналған сандық әдіс. Ағылтындық, акустика, электромагнетизмде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сызықтық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді шешу әдісі
Method of solving linear partial differential equations
Шекаралық элемент әдісі (BEM) – интегралдық теңдеулер түрінде (яғни шекаралық интеграл түрінде) формулировкаланған сызықтық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған сандық есептеу әдісі. Бұл әдіс сұйықтық механикасы, акустика, электромагнетизм (мұнда моменттер әдісі ретінде белгілі немесе MoM деп қысқартылады), сыну механикасы және контактілік механика сияқты салаларда қолданылады.
The boundary element method (BEM) is a numerical computational method of solving linear partial differential equations which have been formulated as integral equations (i. e. in boundary integral form), including fluid mechanics, acoustics, electromagnetics (where the technique is known as method of moments or abbreviated as MoM), fracture mechanics, and contact mechanics.
Математикалық негіз
Интегралды теңдеуді басқарушы бөлшектік дифференциалдық теңдеудің нақты шешімі ретінде қарастыруға болады. Шекаралық элемент әдісі берілген шектік жағдайларды шектік мәндерді интегралды теңдеуге сәйкес келтіруге тырысады, емес, бөлшектік дифференциалдық теңдеумен анықталған кеңістіктегі мәндерге. Мұны орындағаннан кейін, кейіннен өңдеу кезеңінде интегралды теңдеуді шешімнің ішкі аймағындағы кез келген қажетті нүктеде шешімді сандық есептеу үшін қайтадан пайдалануға болады. BEM Грин функцияларын есептеуге болатын проблемаларға қолданылады. Бұл әдетте сызықтық біртекті ортадағы өрістерді қамтиды. Бұл шекаралық элементтерді пайдалы түрде қолдануға болатын проблемалардың ауқымы мен жалпылығына айтарлықтай шектеулер қояды. Формуляцияға сызықтық емес элементтер енгізілуі мүмкін, бірақ олар әдетте көлем интегралдарын енгізеді, содан кейін шешімді қолдануға тырысудан бұрын көлемді дискреттеуді талап етеді, бұл BEM-нің ең жиі келтірілген артықшылықтарының бірі. Көлем интегралын дискреттеусіз өңдеудің пайдалы әдісі - қос өзара әдіс. Бұл әдіс радиалды негіз функцияларын (жергілікті интерполяциялық функциялар) пайдалана отырып интегралдың бір бөлігін шамалайды және көлемдік интегралды бүкіл көлемдік доменде (шекараны қоса алғанда) орналастырылған таңдалған нүктелерде орналастырғаннан кейін шекаралық интегралға айналдырады. Екілік өзаралық BEM-де, көлемді торларға дискреттеудің қажеті болмаса да, шешім доменінің ішіндегі таңдалған нүктелердегі белгісіздер қарастырылып отырған мәселені шамалайтын сызықтық алгебралық теңдеулерге қатысады. Грин функциясының элементтері желімен анықталған көз және өріс жапсырмаларының жұптарын біріктіретін матрицаны құрайды, ол сандық түрде шешіледі. Грин функциясы жақсы орындалмаса, кем дегенде бір-біріне жақын жапсырмалар жұбы үшін Грин функциясы бір немесе екі көз жапсырмасы мен өріс жапсырмасының үстінде біріктірілуі керек. Бұл әдістің қайнар көз мен өрістік жапсырмалар бойынша интегралдары бірдей болатын түрі "Галеркин әдісі" деп аталады. Гальеркин әдісі - бұл көз және өріс нүктелерін алмастыруға қатысты симметриялық проблемаларға арналған қарапайым тәсіл. Жиілік доменіндегі электромагниттік жүйеде бұл электромагниттік өзара әрекеттестікпен қамтамасыз етіледі. Наивті Галеркинді іске асыруда есептеме шығыны әдетте өте жоғары. Әр элемент жұбының үстінен айналып өту керек (осылайша біз n2 өзара әрекеттесулерді аламыз) және әрбір элемент жұбы үшін біз элементтердегі Гаусс нүктелері арқылы айналып, Гаусс нүктелерінің квадрат санына пропорционалды көбейту коэффициентін шығарамыз. Сонымен қатар, функцияны бағалау өте қымбат, өйткені тригонометриялық/гиперболалық функцияларды шақырады. Дегенмен, есептеу шығындарының негізгі көзі - толық толтырылған матрицаны өндіретін элементтердегі қос цикл. Грин функциялары немесе негізгі шешімдерді интеграциялау жиі қиын, өйткені олар сингулярлық жүктемеге (мысалы, нүктелік зарядтан туындайтын электр өрісі) жататын жүйелік теңдеулердің шешімдеріне негізделген. Мұндай ерекше салаларды біріктіру оңай емес. Қарапайым элементтік геометриялар үшін (мысалы, жазықты үшбұрыштар) аналитикалық интеграцияны қолдануға болады. Жалпы элементтер үшін сингулярлыққа бейімделетін, бірақ үлкен есептеу шығындары бар таза сандық схемаларды жобалау мүмкін. Әрине, бастапқы нүкте мен мақсатты элемент (интеграция жүргізілетін жерде) бір-бірінен алыс болған кезде, нүктеге айналдыратын жергілікті градиентті дәл өлшеудің қажеті жоқ және негізгі ерітіндісінің тегіс ыдырауынан кейін оңай интеграциялауға болады. Бұл ерекшелік, әдетте, шекті элемент мәселелерін есептеуді жеделдету үшін жасалған схемаларда қолданылады. Жабық формадағы Грин функцияларын шығару шекаралық элементтер әдісінде, әсіресе электромагнитте ерекше қызығушылық тудырады. Нақтылай айтқанда, қабатты медиаларды талдау кезінде кеңістіктік доменді алу Грин функциясының Sommerfeld жолы интегралы арқылы аналитикалық түрде алынуы мүмкін спектрлік доменді Грин функциясының инверсиясын қажет етеді. Бұл интегралды талдау арқылы бағалау мүмкін емес, ал сандық интеграл оның тербелістік және баяу конвергенттік мінез-құлқынан қымбатқа түседі. Қатты талдау үшін кеңістіктік Грин функциялары Прони әдісі немесе функцияның жалпыланған қарындашы сияқты әдістермен күрделі экспоненциалдар ретінде шамаланады және интеграл Сомерфельд сәйкестігімен бағаланады.
The integral equation may be regarded as an exact solution of the governing partial differential equation. The boundary element method attempts to use the given boundary conditions to fit boundary values into the integral equation, rather than values throughout the space defined by a partial differential equation. Once this is done, in the post processing stage, the integral equation can then be used again to calculate numerically the solution directly at any desired point in the interior of the solution domain. BEM is applicable to problems for which Green's functions can be calculated. These usually involve fields in linear homogeneous media. This places considerable restrictions on the range and generality of problems to which boundary elements can usefully be applied. Nonlinearities can be included in the formulation, although they will generally introduce volume integrals which then require the volume to be discretised before solution can be attempted, removing one of the most often cited advantages of BEM. A useful technique for treating the volume integral without discretising the volume is the dual reciprocity method. The technique approximates part of the integrand using radial basis functions (local interpolating functions) and converts the volume integral into boundary integral after collocating at selected points distributed throughout the volume domain (including the boundary). In the dual reciprocity BEM, although there is no need to discretize the volume into meshes, unknowns at chosen points inside the solution domain are involved in the linear algebraic equations approximating the problem being considered. The Green's function elements connecting pairs of source and field patches defined by the mesh form a matrix, which is solved numerically. Unless the Green's function is well behaved, at least for pairs of patches near each other, the Green's function must be integrated over either or both the source patch and the field patch. The form of the method in which the integrals over the source and field patches are the same is called "Galerkin's method". Galerkin's method is the obvious approach for problems which are symmetrical with respect to exchanging the source and field points. In frequency domain electromagnetics, this is assured by electromagnetic reciprocity. The cost of computation involved in naive Galerkin implementations is typically quite severe. One must loop over each pair of elements (so we get n2 interactions) and for each pair of elements we loop through Gauss points in the elements producing a multiplicative factor proportional to the number of Gauss points squared. Also, the function evaluations required are typically quite expensive, involving trigonometric/hyperbolic function calls. Nonetheless, the principal source of the computational cost is this double loop over elements producing a fully populated matrix. The Green's functions, or fundamental solutions, are often problematic to integrate as they are based on a solution of the system equations subject to a singularity load (e. g. the electrical field arising from a point charge). Integrating such singular fields is not easy. For simple element geometries (e. g. planar triangles) analytical integration can be used. For more general elements, it is possible to design purely numerical schemes that adapt to the singularity, but at great computational cost. Of course, when source point and target element (where the integration is done) are far apart, the local gradient surrounding the point need not be quantified exactly and it becomes possible to integrate easily due to the smooth decay of the fundamental solution. It is this feature that is typically employed in schemes designed to accelerate boundary element problem calculations. Derivation of closed form Green's functions is of particular interest in boundary element method, especially in electromagnetics. Specifically in the analysis of layered media, derivation of spatial domain Green's function necessitates the inversion of analytically derivable spectral domain Green's function through Sommerfeld path integral. This integral can not be evaluated analytically and its numerical integration is costly due to its oscillatory and slowly converging behaviour. For a robust analysis, spatial Green's functions are approximated as complex exponentials with methods such as Prony's method or generalized pencil of function, and the integral is evaluated with Sommerfeld identity.
Басқа әдістермен салыстыру
Шекаралық элементтер әдісі көбінесе басқа әдістерге қарағанда, соның ішінде шекті элементтерге қарағанда, бет/көлем арақатынасы шағын болатын проблемалар үшін есептеу ресурстары тұрғысынан тиімді. Теориялық тұрғыдан алғанда, ол модельделген бет үстінде "тор" құру арқылы жұмыс істейді. Дегенмен, көптеген жағдайларда шекаралық элементтер әдісі көлемдік дискреттеу әдістерінен (шекті элементтер әдісі, шекті айырма әдісі, шекті көлем әдісі) гөрі әлдеқайда тиімсіз. Шекаралық элементтер әдісін қолданудың нақты мысалы – резервуарлардағы сұйықтықтың тербелісінің табиғи жиіліктерін тиімді есептеу. Шекаралық элементтер әдісі контактілік проблемаларды сандық модельдеу үшін ең тиімді әдістердің бірі, әсіресе жабысқақ контактілерді модельдеуде. Шекаралық элементтердің формулалары көбінесе толыққанды матрицаларға алып келеді. Бұл сақтау және есептеу уақыты проблеманың өлшеміне пропорционал квадратиктік түрде өседі дегенді білдіреді. Керісінше, шекті элементтер матрицалары әдетте жолақты болады (элементтер тек локальды байланысты) және жүйелік матрицаларға қатысты сақтау талаптары проблеманың өлшемімен сызықтық түрде өседі. Қысымдау техникаларын (мысалы, көпполюсті кеңейтулер немесе адаптивті қиылыс жақындастыру/иерархиялық матрицалар) осы мәселелерді шешу үшін қолдануға болады, бірақ бұл қосымша күрделілік пен шешілетін проблеманың сипатына және геометриясына байланысты сәттілік деңгейімен байланысты.
The boundary element method is often more efficient than other methods, including finite elements, in terms of computational resources for problems where there is a small surface/volume ratio. Conceptually, it works by constructing a "mesh" over the modelled surface. However, for many problems boundary element methods are significantly less efficient than volume discretisation methods (finite element method, finite difference method, finite volume method). A good example of application of the boundary element method is efficient calculation of natural frequencies of liquid sloshing in tanks. Boundary element method is one of the most effective methods for numerical simulation of contact problems, in particular for simulation of adhesive contacts. Boundary element formulations typically give rise to fully populated matrices. This means that the storage requirements and computational time will tend to grow according to the square of the problem size. By contrast, finite element matrices are typically banded (elements are only locally connected) and the storage requirements for the system matrices typically grow quite linearly with the problem size. Compression techniques (e. g. multipole expansions or adaptive cross approximation/hierarchical matrices) can be used to ameliorate these problems, though at the cost of added complexity and with a success rate that depends heavily on the nature of the problem being solved and the geometry involved.