Кіріспе
Параболалық дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешуге арналған шекті айырмалар әдісі. Сандық талдауда Кранк-Николсон әдісі – жылу теңдеуі мен ұқсас дербес дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешу үшін қолданылатын шекті айырмалар әдісі. Бұл уақыт бойынша екінші дәрежелі әдіс. Ол уақыт бойынша жасырын түрде беріледі, жасырын Рунге-Кутта әдісі ретінде жазылуы мүмкін және сандық тұрақтылыққа ие. Бұл әдіс 20-шы ғасырдың ортасында Джон Кранк пен Филис Николсон тарапынан әзірленген. Диффузиялық теңдеулер (және көптеген басқа теңдеулер) үшін Кранк-Николсон әдісінің шартсыз тұрақты екені көрсетілуі мүмкін. Дегенмен, жуықталған шешімдерде (өшірілетін) жалған тербелістер пайда болуы мүмкін, егер уақыт қадамын термиялық диффузиялық коэффициентіне көбейтілгенінің кеңістік қадамының квадратына қатынасы үлкен болса (әдетте, Фон-Нойманның тұрақтылық талдауы бойынша 1/2-ден асатын жағдайда). Осы себепті үлкен уақыт қадамдары немесе жоғары кеңістіктік ажыратымдылық қажет болғанда, көбінесе тұрақты және тербелістерге төзімді, бірақ аз дәл кері Эйлер әдісі қолданылады.
In numerical analysis, the Crank–Nicolson method is a finite difference method used for numerically solving the heat equation and similar partial differential equations. It is a second order method in time. It is implicit in time, can be written as an implicit Runge–Kutta method, and it is numerically stable. The method was developed by John Crank and Phyllis Nicolson in the mid 20th century. For diffusion equations (and many other equations), it can be shown the Crank–Nicolson method is unconditionally stable. However, the approximate solutions can still contain (decaying) spurious oscillations if the ratio of time step times the thermal diffusivity to the square of space step, , is large (typically, larger than 1/2 per Von Neumann stability analysis). For this reason, whenever large time steps or high spatial resolution is necessary, the less accurate backward Euler method is often used, which is both stable and immune to oscillations.
Сызықтық емес проблемалар үшін Кранк-Николсон
Кранк-Николсон әдісі имплицитті болғандықтан, оны дәл шешу әдетте мүмкін емес. Оның орнына, шешімге жуықтау үшін итерациялық тәсіл қолдану керек. Бір мүмкіндік – Ньютон әдісін қолданып, болжамды нақтылау, бірақ бұл Якобианды есептеуді талап етеді. Егер жүйе жоғары өлшемді болса, мысалы, есептік сұйықтық динамикасы немесе сандық жалпы салыстырмалылық сияқты, Якобианды есептеу қиынға түсуі мүмкін. Якобианды есептеуді қажет етпейтін балама – тұрақты нүктелік итерация. Егер жүйенің жылдамдығы болса, онда Кранк-Николсон болжамы картаның тұрақты нүктесі болады. Егер картаның итерациясы конвергенцияланбаса, параметрленген карта , жақсы нәтиже беруі мүмкін. Кеңейтілген түрінде жаңарту формуласы:
where is the current guess and is the previous time step. Even for high dimensional systems, iteration of this map can converge surprisingly quickly.
,
where is the current guess and is the previous time step. Even for high dimensional systems, iteration of this map can converge surprisingly quickly.
мұнда – ағымдағы жуықтама, ал – бұрынғы уақыт қадамы. Тіпті жоғары өлшемді жүйелер үшін де осы картаның итерациясы күтпегендей жылдам конвергенциялана алады.
where is the current guess and is the previous time step. Even for high dimensional systems, iteration of this map can converge surprisingly quickly.
Қаржылық математикада қолдану
Басқа да көптеген құбылыстарды жылу теңдеуімен (қаржы математикасында көбінесе диффузия теңдеуі деп аталады) модельдеуге болатындықтан, Кранк-Николсон әдісі сондай-ақ осы салаларда да қолданылады. Атап айтқанда, Black-Scholes опция бағалау моделінің дифференциалдық теңдеуін жылу теңдеуіне келтіруге болады, демек опция бағалаудың сандық шешімдерін Кранк-Николсон әдісімен алуға болады. Бұл қаржы үшін маңызды, себебі опция бағалау мәселелері стандартты шарттардан асып кеткен жағдайда (мысалы, өзгеріп отыратын дивидендтерді ескере отырып) аналитикалық түрде шешілмейді, бірақ осы әдіс арқылы шешіледі. Дегенмен, тегіс емес бастапқы шарттарда (қаржы құралдарының көпшілігі үшін кездесетін жағдай) Кранк-Николсон әдісі жеткіліксіз, себебі сандық тербелістер өшпейді. Стандартты опциялар үшін бұл страйк бағасының маңында гамма шамасының тербелуіне алып келеді. Сондықтан, арнайы демпферлеуді бастау қадамдары қажет (мысалы, толыққандай имплицитті шекті айырыс әдісі).