Кіріспе
Қалыпты дифференциалдық теңдеулердің сандық шешімдерін табуға арналған әдістер. Қалыпты дифференциалдық теңдеулерге (ҚДТ) сандық жуықтамаларды табу үшін қолданылатын әдістер – бұл қалыпты дифференциалдық теңдеулердің сандық әдістері. Бұл әдістерді «сандық интеграция» деп те атайды, бірақ бұл термин интегралдарды есептеуді де білдіре береді. Көптеген дифференциалдық теңдеулерді дәл шешу мүмкін емес. Дегенмен, практикалық мақсаттар үшін, мысалы, инженерлік саласында, шешімге сандық жуықтама көбінесе жеткілікті болады. Мұнда зерттелетін алгоритмдерді осындай жуықтаманы есептеу үшін қолдануға болады. Басқа бір әдіс – шешімнің қатарлық кеңеюін алу үшін есептеу әдістерін пайдалану. Қалыпты дифференциалдық теңдеулер физика, химия, биология және экономика сияқты көптеген ғылыми салаларда кездеседі. Сонымен қатар, сандық дербес дифференциалдық теңдеулердің кейбір әдістері дербес дифференциалдық теңдеуді қалыпты дифференциалдық теңдеуге түрлендіреді, одан кейін оны шешу қажет.
Numerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation. An alternative method is to use techniques from calculus to obtain a series expansion of the solution. Ordinary differential equations occur in many scientific disciplines, including physics, chemistry, biology, and economics. In addition, some methods in numerical partial differential equations convert the partial differential equation into an ordinary differential equation, which must then be solved.
Әдістер
Бірінші реттік ИВП-ны шешуге арналған сандық әдістер көбінесе екі үлкен санаттың біріне жатады: сызықтық көп қадамды әдістер немесе Рунге-Кутта әдістері. Әдістерді анық және жасырын болып бөлу арқылы одан әрі жіктеуге болады. Мысалы, жасырын сызықтық көп қадамды әдістерге Адамс-Моултон әдістері және кері дифференциациялау әдістері (BDF) жатады, ал жасырын Рунге-Кутта әдістеріне диагональды жасырын Рунге-Кутта (DIRK), жеке диагональды жасырын Рунге-Кутта (SDIRK) және Гаусс-Раду (Гаусс квадратурасына негізделген) сандық әдістері кіреді. Сызықтық көп қадамды әдістер отбасынан нақты мысалдарға Адамс-Бэшфорт әдістері және төменгі диагональды Бутчер кестесі бар кез келген Рунге-Кутта әдісі жатады. Шамамен ереже бойынша, қатаң дифференциалдық теңдеулерге жасырын схемаларды қолдану қажет, ал қатаң емес мәселелерді анық схемалармен тиімдірек шешуге болады. Жалпы сызықтық әдістер (ЖСЖ) деп аталатын әдістер жоғарыда аталған екі үлкен санаттағы әдістердің жалпылауы болып табылады.
Баламалы әдістер
Көптеген әдістер осы жерде талқыланған шеңберге кірмейді. Балама әдістердің кейбір түрлері: f функциясын ғана емес, сонымен қатар оның туындыларын пайдаланатын көп туындылы әдістер. Бұл түрге Hermite–Obreschkoff әдістері мен Fehlberg әдістері, сондай-ақ Parker–Sochacki әдісі немесе Bychkov–Scherbakov әдісі сияқты, шешімнің Тейлор қатарының коэффициенттерін рекурсивті түрде есептейтін әдістер кіреді. Екінші реттік дифференциалдық теңдеулерге арналған әдістер. Біз жоғары ретті дифференциалдық теңдеулердің барлығын (1) түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерге түрлендіруге болатынын айттық. Бұл, әрине, рас, бірақ бұл ең жақсы тәсіл болмауы мүмкін. Атап айтқанда, Nyström әдістері екінші ретті теңдеулермен тікелей жұмыс істейді. Геометриялық интеграция әдістері дифференциалдық теңдеулердің арнайы түрлері үшін әзірленген (мысалы, Гамильтон теңдеулерін шешу үшін симплектік интеграторлар). Олар сандық шешімнің осы түрлердің негізгі құрылымын және геометриясын сақтайтынына көңіл бөледі. Квантталған күй жүйелері әдістері – күйді кванттау идеясына негізделген дифференциалдық теңдеулерді интеграциялау әдістерінің бір тобы. Олар жиі үзілістер болатын сиректік жүйелерді модельдеу кезінде тиімді.
multiderivative methods, which use not only the function f but also its derivatives. This class includes Hermite–Obreschkoff methods and Fehlberg methods, as well as methods like the Parker–Sochacki method or Bychkov–Scherbakov method, which compute the coefficients of the Taylor series of the solution y recursively. methods for second order ODEs. We said that all higher order ODEs can be transformed to first order ODEs of the form (1). While this is certainly true, it may not be the best way to proceed. In particular, Nyström methods work directly with second order equations. geometric integration methods are especially designed for special classes of ODEs (for example, symplectic integrators for the solution of Hamiltonian equations). They take care that the numerical solution respects the underlying structure or geometry of these classes. Quantized state systems methods are a family of ODE integration methods based on the idea of state quantization. They are efficient when simulating sparse systems with frequent discontinuities.
Уақытша қатарлас әдістер
Кейбір IVP-лерді өте жоғары уақыттық ажыратымдылықта және/немесе өте ұзақ уақыт аралықтарында интеграциялау қажет, сондықтан классикалық реттік уақыт бойынша қадамдық әдістерді нақты уақытта іске қосу есептеу жағынан мүмкін болмайды (мысалы, сандық ауа райын болжауда, плазмалық модельдеуде және молекулалық динамикадағы IVP-лер). Осы мәселелерге жауап ретінде, параллель есептеуді пайдалану арқылы модельдеу жұмысының уақытын қысқарту мақсатында уақыт бойынша параллель (PinT) әдістер әзірленді. Ең алғашқы PinT әдістері (алғашқысы 1960 жылдары ұсынылған) зерттеушілер тарапынан бастапқыда назардан тыс қалды, себебі оларға қажетті параллель есептеу архитектуралары кеңінен қолжетімді болған жоқ. Есептеу қуатының артуымен, 2000 жылдардың басында қызығушылық қайта жанданды, нәтижесінде Parareal әзірленді – икемді, пайдалануға оңай PinT алгоритмі, ол көптеген IVP-лерді шешуге қолайлы. Экзамасштабты есептеулердің пайда болуы PinT алгоритмдеріне зерттеулердің қызығушылығын арттырды және олар әлемдегі ең қуатты суперкомпьютерлерді пайдалана алатын етіп дамытылуда. 2023 жылға қарай ең танымал әдістерге Parareal, PFASST, ParaDiag және MGRIT жатады.
Ынтымақтастық
Сандық әдіс конвергентті деп аталады, егер қадам мөлшері h 0-ге жақын болғанда сандық шешім нақты шешімге жақындаса. Дәлірек айтқанда, f Липшиц функциясы бар кез келген ODE (1) және кез келген t* > 0 үшін,
Жоғарыда аталған барлық әдістер конвергентті.
Тұрақтылық және қаттылық
Кейбір дифференциалдық теңдеулер үшін стандартты әдістерді қолдану, мысалы, Эйлер әдісі, ашық Рунге-Кутта әдістері немесе көп қадамды әдістер (мысалы, Адамс-Бэшфорт әдістері) шешімдерде тұрақсыздыққа алып келуі мүмкін, бірақ басқа әдістер тұрақты шешімдер бере алады. Теңдеудегі бұл "қиын мінез-құлық" (ол өзі күрделі болмауы мүмкін) қатаңдық деп сипатталады және көбінесе негізгі мәселеде әртүрлі уақыт өлшемдерінің болуынан туындайды. Мысалы, соқтығысқан тербелістегідей механикалық жүйедегі соқтығысу, денелердің қозғалысының уақытына қарағанда әлдеқайда кіші уақыт өлшемінде жүреді; бұл айырмашылық күй параметрлерінің графигінде өте "күрделі өзгерулерге" себеп болады. Қатаң мәселелер химиялық кинетика, басқару теориясы, қатты денелер механикасы, ауа райын болжау, биология, плазма физикасы және электроника салаларында кең таралған. Қатаңдықты жеңудің бір жолы – дифференциалдық теңдеу ұғымын дифференциалдық инклюзияға кеңейту, бұл тегіссіздікті қамтамасыз етеді және модельдеуге мүмкіндік береді.
Тарих
Төменде осы саладағы маңызды дамулардың уақыт жобасы келтірілген. 1768 жылы Леонард Эйлер өзінің әдісін жариялады. 1824 жылы Огюстен Луи Коши Эйлер әдісінің жуықтауын дәлелдеді. Бұл дәлелдемеде Коши жасырын Эйлер әдісін пайдаланды. 1855 жылы Фрэнсис Башфорт жазған хатта Джон Коуч Адамстың көп қадамды әдістері туралы алғашқы айтылым болды. 1895 жылы Карл Рунге бірінші Рунге-Кутта әдісін жариялады. 1901 жылы Мартин Кутта танымал төртінші ретті Рунге-Кутта әдісін сипаттады. 1910 жылы Льюис Фрай Ричардсон өзінің экстраполяция әдісін, Ричардсон экстраполяциясын жариялады. 1952 жылы Чарльз Ф. Кертисс және Джозеф Окленд Хиршфелдер «қатаң теңдеулер» терминін енгізді. 1963 жылы Гермунд Дальквист интеграциялау әдістерінің A тұрақтылығын ұсынды.