Кіріспе
Бастапқы сандар мәселесі шешілді. Математикада Бертран постулаты (қазір теорема) әрбір үшін, осындай бар екенін көрсетеді. Алғаш рет 1845 жылы Джозеф Бертран болжаған, оны алғаш рет Чебышев дәлелдеді, ал Раманужан қысқарақ, бірақ сонымен қатар күрделі дәлел келтірді. Пауль Эрдос осы элементарлық дәлелді 1932 жылы, өзінің ең алғашқы математикалық жарияланымдарының бірі ретінде жариялады. Негізгі идея – орталық биномдық коэффициенттердің жеткілікті үлкен болуы үшін аралықтағы жай сан факторы болуы керек екенін көрсету. Бұл олардың факторлық жіктелуін талдау арқылы жүзеге асырылады. Дәлелдің негізгі қадамдары төмендегідей. Біріншіден, орталық биномдық коэффициенттің жай санға жіктелуіндегі әрбір жай санның дәрежесінің үлесі ең көп дегенде ; содан кейін, -дан үлкен әрбір жай сан ең көп дегенде бір рет кездесетіні көрсетіледі. Келесі қадам – аралықта жай сан факторлары жоқ екенін дәлелдеу. Осы шектеулердің нәтижесінде, -қа дейінгі жай сан факторларының үлесі асимптотикалық түрде өседі, себебі кейбір . Орталық биномдық коэффициенттің асимптотикалық өсуі кем дегенде болғандықтан, қарама-қайшылық арқылы және жеткілікті үлкен үшін биномдық коэффициентте басқа жай сан факторы болуы керек, ол тек аралығында жатуы мүмкін. Бұл аргумент барлық үшін жарамды. қалған мәндері тікелей тексеру арқылы анықталады, бұл дәлелді аяқтайды.
In mathematics, Bertrand's postulate (now a theorem) states that, for each , there is a prime such that First conjectured in 1845 by Joseph Bertrand, it was first proven by Chebyshev, and a shorter but also advanced proof was given by Ramanujan. The following elementary proof was published by Paul Erdős in 1932, as one of his earliest mathematical publications. The basic idea is to show that the central binomial coefficients must have a prime factor within the interval in order to be large enough. This is achieved through analysis of their factorizations. The main steps of the proof are as follows. First, one shows that the contribution of every prime power factor in the prime decomposition of the central binomial coefficient is at most ; then, one shows that every prime larger than appears at most once. The next step is to prove that has no prime factors in the interval As a consequence of these bounds, the contribution to the size of coming from the prime factors that are at most grows asymptotically as for some Since the asymptotic growth of the central binomial coefficient is at least , the conclusion is that, by contradiction and for large enough , the binomial coefficient must have another prime factor, which can only lie between and
The argument given is valid for all The remaining values of are by direct inspection, which completes the proof.
Дәлелдегі лемалар
Дәлелдеу орталық биномдық коэффициенттердегі жай сандар туралы фактілерді орнату үшін келесі төрт лемманы пайдаланады.