Кіріспе

Сандар теориясындағы көбейту функциясы – сандар теориясындағы Мёбиус функциясы.

Мёбиус функциясы μ(n) – 1832 жылы неміс математигі Август Фердинанд Мёбиус (кейде Мобиус деп те транслитерацияланады) енгізген сандар теориясындағы көбейту функциясы. Ол элементарлық және аналитикалық сандар теориясында кеңінен қолданылады және көбінесе оның атымен аталған Мёбиус инверсия формуласының бір бөлігі ретінде кездеседі. 1960 жылдары Джан Карло Ротаның жұмысынан кейін Мёбиус функциясының обобщениелері комбинаторикаға енгізілді және олар да μ(x) деп белгіленеді.

Физика

Мёбиус функциясы сондай-ақ примон газы немесе суперсимметрияның Риман газы моделінде де кездеседі. Бұл теорияда негізгі бөлшектердің, немесе "примондардың" энергиясы log p-ге тең. Екінші кванттау кезінде көп бөлшектік қоздырулар қарастырылады; олар кез келген натурал сан n үшін log n арқылы беріледі. Бұл натурал сандарды жай сандарға жіктеудің бірегейлігінен туындайды. Егер примондар бозон ретінде қарастырылса, еркін Риман газында кез келген натурал сан пайда болуы мүмкін. Егер олар фермион ретінде қарастырылса, Паулидің қанағаттандыру принципі квадраттарды жоққа шығарады. Фермиондар мен бозондарды ажырататын [[(1)^F операторы – Мёбиус функциясы μ(n)-нен басқа ештеңе емес. Риманның еркін газы сандар теориясымен көптеген басқа да қызықты байланыстарға ие, соның ішінде бөлу функциясы Риманның дзета-функциясына тең. Бұл идея Ален Коннның Риман гипотезасын дәлелдеу әрекетінің негізінде жатыр.

Орташа тапсырыс

Мёбиус функциясының орташа мәні (орташа реттер мағынасында) нөлге тең. Бұл тұжырым, шындығында, жай сандар теоремасымен эквивалентті.

Инциденттік алгебралар

Комбинаторикада, әрбір жергілікті шекті ішінара реттелген жиынға (посетке) инциденттік алгебра сәйкес қойылады. Бұл алгебраның ерекше мүшесі – сол позиттің "Мёбиус функциясы". Осы мақалада қарастырылатын классикалық Мёбиус функциясы, бөлінушілік бойынша ішінара реттелген барлық оң бүтін сандар жиынының Мёбиус функциясына шамамен тең. Нақты анықтамасы және осы жалпы Мёбиус функцияларының бірнеше мысалы үшін инциденттік алгебралар туралы мақаланы қараңыз.

Поповичтің қызметі

Константин Попович жалпыланған Мёбиус функциясын Мёбиус функциясының өзімен k рет Дирихле конволюциясы деп анықтады. Осылайша, бұл да көбейту функциясы болып табылады, мұнда егер a > k болса, биномдық коэффициент нөлге тең. Анықтаманы биномды k-ға қатысты полином ретінде қарастыра отырып, күрделі k-ға дейін кеңейтуге болады.