Сандық теориядағы функциялар және олардың қасиеттері

Кіріспе

Оң бүтін сандар домені болатын функция. Сандар теориясында арифметикалық, арифметикалық немесе сандық теориялық функция дегеніміз, әдетте, f(n) функциясы, оның домені оң бүтін сандардан тұрады және оның мәндер жиыны кешенді сандардың ішкі жиыны болып табылады. Харди мен Райт өздерінің анықтамасына арифметикалық функцияның "n-нің кейбір арифметикалық қасиеттерін көрсететіні" талабын қосты. Бірақ, осы анықтамаға сәйкес келмейтін сандық теориялық функциялардың үлкен класы бар, мысалы, жай сандарды санау функциялары. Осы мақалада екі класс функцияларына сілтемелер келтірілген. Арифметикалық функцияға мысал – оң бүтін сан n-дегі мәні n-нің бөлгіштерінің санына тең болатын бөлгіш функциясы. Арифметикалық функциялар көбінесе өте тәртіпсіз болады (кестеге қараңыз), бірақ олардың кейбіреулері Раманужан қосындысы түрінде қатарға жіктеледі.

φ ((n) Эулер тотиент функциясы

φ(n), Эйлер тотиент функциясы – n-ден аспайтын оң бүтін сандардың саны, n-мен өзара жай сандардың саны.

Jk(n) Джордан тотиенттік функциясы

Jk(n), Джордан тотиенті функциясы, n-мен бірге өзара жай (k+1) туплі құрайтын, n-ден артық емес оң бүтін сандардың k туплі саны болып табылады. Бұл Ойлер тотиентінің, 1=φ(n) = J1(n), жалпылама түрі.

μ(n) Мёбиус функциясы

μ(n), Мёбиус функциясы, Мёбиус инверсия формуласының маңыздылығынан туындайды. Дирихле конволюциясына төменде қараңыз. Осыдан μ(1) = 1 екендігі шығады. (Себебі Ω(1) = ω(1) = 0.)

ω(n) айрықша алғашқы бөлгіштер

ω(n), жоғарыда n-ді бөлетін әр түрлі жай сандардың саны ретінде анықталған, қосымша қасиетке ие (Праймдық омега функциясына қараңыз).

Ω(n) негізгі бөлгіштер

Ω(n), жоғарыда n-нің жай көбейткіштерінің саны ретінде, қайталамасымен есептелген, толық қосымша (Жай омега функциясын қараңыз).

νp(n) n бүтін санның p-адикалық бағалауы

Белгілі бір жай сан p үшін, νp(n), жоғарыда n-ді бөлетін p-нің ең үлкен дәрежесінің көрсеткіші ретінде анықталған, толыққанды қосымша болады.

Логарифмдік туынды

, мұнда – арифметикалық туынды.

(x), Π(x), θ(x), ψ(x) біріншілік санау функциялары

Бұл маңызды функциялар (арифметикалық функциялар емес) теріс емес нақты аргументтер үшін анықталады және жай сандар теоремасының әртүрлі тұжырымдары мен дәлелдерінде қолданылады. Олар арифметикалық функциялардың жиынтық функциялары (төмендегі негізгі бөлімді қараңыз), олар көбейтілмейтін де, қосылмайтын да емес. (x) – жай сандарды санау функциясы, ол x-тен аспайтын жай сандардың санын көрсетеді. Бұл жай сандардың сипаттамалық функциясының жиынтығы. Тағы бір байланысты функция жай сандардың қуаттарын санайды, жай сандар үшін салмағы 1, олардың квадраттары үшін 1/2, кубтары үшін 1/3. Бұл жай сандардың k-шы дәрежесі болатын бүтін сандар үшін 1/k мәнін, ал басқа бүтін сандар үшін 0 мәнін қабылдайтын арифметикалық функцияның жиынтық функциясы. θ(x) және ψ(x) – Чебишев функциялары, олар x-тен аспайтын жай сандардың табиғи логарифмдерінің қосындысы ретінде анықталады. Чебишев функциясы ψ(x) – төмендегі фон Мангольдт функциясының жиынтық функциясы.

h(n) Сынып нөмірі

h(n), сыныптық сан функциясы, – дискриминанты n болатын рационал сандардың алгебралық кеңейтілімінің идеалдық сынып тобының реті. Бұл белгілену әртүрлі, себебі бірдей дискриминанты бар көптеген кеңейтілімдер болуы мүмкін. Классикалық мысалдар үшін квадратикалық өріс және циклотомиялық өріс қараңыз.

rk(n) k квадраттарының қосындысы

rk(n) – n санын k квадраттың қосындысы түрінде көрсету мүмкіндіктерінің саны, мұнда қосылғыштардың ретімен немесе квадрат түбірлерінің таңбаларымен ғана ерекшеленетін көрсетулер әртүрлі болып саналады.

Кейбір арифметикалық функциялардың алғашқы 100 мәні

факторизация (n) ω(n) Ω(n) (n) (n) (n) (n) 0(n) 1(n) 2(n) r2(n) r3(n) r4(n) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 4 6 8 2 2 1 1 1 −1 −1 0.69 1 2 3 5 4 12 24 3 3 2 1 1 −1 −1 1.10 2 2 4 10 0 8 32 4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24 5 5 4 1 1 −1 −1 1.61 3 2 6 26 8 24 48 6 2 · 3 2 2 2 1 1 0 3 4 12 50 0 24 96 7 7 6 1 1 −1 −1 1.95 4 2 8 50 0 0 64 8 23 4 1 3 −1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24 9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104 10 2 · 5 4 2 2 1 1 0 4 4 18 130 8 24 144 11 11 10 1 1 −1 −1 2.40 5 2 12 122 0 24 96 12 22 · 3 4 2 3 −1 0 0 5 6 28 210 0 8 96 13 13 12 1 1 −1 −1 2.56 6 2 14 170 8 24 112 14 2 · 7 6 2 2 1 1 0 6 4 24 250 0 48 192 15 3 · 5 8 2 2 1 1 0 6 4 24 260 0 0 192 16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24 17 17 16 1 1 −1 −1 2.83 7 2 18 290 8 48 144 18 2 · 32 6 2 3 −1 0 0 7 6 39 455 4 36 312 19 19 18 1 1 −1 −1 2.94 8 2 20 362 0 24 160 20 22 · 5 8 2 3 −1 0 0 8 6 42 546 8 24 144 21 3 · 7 12 2 2 1 1 0 8 4 32 500 0 48 256 22 2 · 11 10 2 2 1 1 0 8 4 36 610 0 24 288 23 23 22 1 1 −1 −1 3.14 9 2 24 530 0 0 192 24 23 · 3 8 2 4 1 0 0 9 8 60 850 0 24 96 25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248 26 2 · 13 12 2 2 1 1 0 9 4 42 850 8 72 336 27 33 18 1 3 −1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320 28 22 · 7 12 2 3 −1 0 0 9 6 56 1050 0 0 192 29 29 28 1 1 −1 −1 3.37 10 2 30 842 8 72 240 30 2 · 3 · 5 8 3 3 −1 −1 0 10 8 72 1300 0 48 576 31 31 30 1 1 −1 −1 3.43 11 2 32 962 0 0 256 32 25 16 1 5 −1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24 33 3 · 11 20 2 2 1 1 0 11 4 48 1220 0 48 384 34 2 · 17 16 2 2 1 1 0 11 4 54 1450 8 48 432 35 5 · 7 24 2 2 1 1 0 11 4 48 1300 0 48 384 36 22 · 32 12 2 4 1 0 0 11 9 91 1911 4 30 312 37 37 36 1 1 −1 −1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304 38 2 · 19 18 2 2 1 1 0 12 4 60 1810 0 72 480 39 3 · 13 24 2 2 1 1 0 12 4 56 1700 0 0 448 40 23 · 5 16 2 4 1 0 0 12 8 90 2210 8 24 144 41 41 40 1 1 −1 −1 3.71 13 2 42 1682 8 96 336 42 2 · 3 · 7 12 3 3 −1 −1 0 13 8 96 2500 0 48 768 43 43 42 1 1 −1 −1 3.76 14 2 44 1850 0 24 352 44 22 · 11 20 2 3 −1 0 0 14 6 84 2562 0 24 288 45 32 · 5 24 2 3 −1 0 0 14 6 78 2366 8 72 624 46 2 · 23 22 2 2 1 1 0 14 4 72 2650 0 48 576 47 47 46 1 1 −1 −1 3.85 15 2 48 2210 0 0 384 48 24 · 3 16 2 5 −1 0 0 15 10 124 3410 0 8 96 49 72 42 1 2 1 0 1.95 15 3 57 2451 4 54 456 50 2 · 52 20 2 3 −1 0 0 15 6 93 3255 12 84 744 51 3 · 17 32 2 2 1 1 0 15 4 72 2900 0 48 576 52 22 · 13 24 2 3 −1 0 0 15 6 98 3570 8 24 336 53 53 52 1 1 −1 −1 3.97 16 2 54 2810 8 72 432 54 2 · 33 18 2 4 1 0 0 16 8 120 4100 0 96 960 55 5 · 11 40 2 2 1 1 0 16 4 72 3172 0 0 576 56 23 · 7 24 2 4 1 0 0 16 8 120 4250 0 48 192 57 3 · 19 36 2 2 1 1 0 16 4 80 3620 0 48 640 58 2 · 29 28 2 2 1 1 0 16 4 90 4210 8 24 720 59 59 58 1 1 −1 −1 4.08 17 2 60 3482 0 72 480 60 22 · 3 · 5 16 3 4 1 0 0 17 12 168 5460 0 0 576 61 61 60 1 1 −1 −1 4.11 18 2 62 3722 8 72 496 62 2 · 31 30 2 2 1 1 0 18 4 96 4810 0 96 768 63 32 · 7 36 2 3 −1 0 0 18 6 104 4550 0 0 832 64 26 32 1 6 1 0 0.69 18 7 127 5461 4 6 24 65 5 · 13 48 2 2 1 1 0 18 4 84 4420 16 96 672 66 2 · 3 · 11 20 3 3 −1 −1 0 18 8 144 6100 0 96 1152 67 67 66 1 1 −1 −1 4.20 19 2 68 4490 0 24 544 68 22 · 17 32 2 3 −1 0 0 19 6 126 6090 8 48 432 69 3 · 23 44 2 2 1 1 0 19 4 96 5300 0 96 768 70 2 · 5 · 7 24 3 3 −1 −1 0 19 8 144 6500 0 48 1152 71 71 70 1 1 −1 −1 4.26 20 2 72 5042 0 0 576 72 23 · 32 24 2 5 −1 0 0 20 12 195 7735 4 36 312 73 73 72 1 1 −1 −1 4.29 21 2 74 5330 8 48 592 74 2 · 37 36 2 2 1 1 0 21 4 114 6850 8 120 912 75 3 · 52 40 2 3 −1 0 0 21 6 124 6510 0 56 992 76 22 · 19 36 2 3 −1 0 0 21 6 140 7602 0 24 480 77 7 · 11 60 2 2 1 1 0 21 4 96 6100 0 96 768 78 2 · 3 · 13 24 3 3 −1 −1 0 21 8 168 8500 0 48 1344 79 79 78 1 1 −1 −1 4.37 22 2 80 6242 0 0 640 80 24 · 5 32 2 5 −1 0 0 22 10 186 8866 8 24 144 81 34 54 1 4 1 0 1.10 22 5 121 7381 4 102 968 82 2 · 41 40 2 2 1 1 0 22 4 126 8410 8 48 1008 83 83 82 1 1 −1 −1 4.42 23 2 84 6890 0 72 672 84 2 · 3 · 7 24 3 4 1 0 0 23 12 224 10500 0 48 768 85 5 · 17 64 2 2 1 1 0 23 4 108 7540 16 48 864 86 2 · 43 42 2 2 1 1 0 23 4 132 9250 0 120 1056 87 3 · 29 56 2 2 1 1 0 23 4 120 8420 0 0 960 88 23 · 11 40 2 4 1 0 0 23 8 180 10370 0 24 288 89 89 88 1 1 −1 −1 4.49 24 2 90 7922 8 144 720 90 2 · 32 · 5 24 3 4 1 0 0 24 12 234 11830 8 120 1872 91 7 · 13 72 2 2 1 1 0 24 4 112 8500 0 48 896 92 22 · 23 44 2 3 −1 0 0 24 6 168 11130 0 0 576 93 3 · 31 60 2 2 1 1 0 24 4 128 9620 0 48 1024 94 2 · 47 46 2 2 1 1 0 24 4 144 11050 0 96 1152 95 5 · 19 72 2 2 1 1 0 24 4 120 9412 0 0 960 96 25 · 3 32 2 6 1 0 0 24 12 252 13650 0 24 96 97 97 96 1 1 −1 −1 4.57 25 2 98 9410 8 48 784 98 2 · 72 42 2 3 −1 0 0 25 6 171 12255 4 108 1368 99 32 · 11 60 2 3 −1 0 0 25 6 156 11102 0 72 1248 100 22 · 52 40 2 4 1 0 0 25 9 217 13671 12 30 744

nfactorization (n) ω(n) Ω(n) (n) (n) (n) (n) 0(n) 1(n) 2(n) r2(n) r3(n) r4(n) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 4 6 8 2 2 1 1 1 −1 −1 0.69 1 2 3 5 4 12 24 3 3 2 1 1 −1 −1 1.10 2 2 4 10 0 8 32 4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24 5 5 4 1 1 −1 −1 1.61 3 2 6 26 8 24 48 6 2 · 3 2 2 2 1 1 0 3 4 12 50 0 24 96 7 7 6 1 1 −1 −1 1.95 4 2 8 50 0 0 64 8 23 4 1 3 −1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24 9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104 10 2 · 5 4 2 2 1 1 0 4 4 18 130 8 24 144 11 11 10 1 1 −1 −1 2.40 5 2 12 122 0 24 96 12 22 · 3 4 2 3 −1 0 0 5 6 28 210 0 8 96 13 13 12 1 1 −1 −1 2.56 6 2 14 170 8 24 112 14 2 · 7 6 2 2 1 1 0 6 4 24 250 0 48 192 15 3 · 5 8 2 2 1 1 0 6 4 24 260 0 0 192 16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24 17 17 16 1 1 −1 −1 2.83 7 2 18 290 8 48 144 18 2 · 32 6 2 3 −1 0 0 7 6 39 455 4 36 312 19 19 18 1 1 −1 −1 2.94 8 2 20 362 0 24 160 20 22 · 5 8 2 3 −1 0 0 8 6 42 546 8 24 144 21 3 · 7 12 2 2 1 1 0 8 4 32 500 0 48 256 22 2 · 11 10 2 2 1 1 0 8 4 36 610 0 24 288 23 23 22 1 1 −1 −1 3.14 9 2 24 530 0 0 192 24 23 · 3 8 2 4 1 0 0 9 8 60 850 0 24 96 25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248 26 2 · 13 12 2 2 1 1 0 9 4 42 850 8 72 336 27 33 18 1 3 −1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320 28 22 · 7 12 2 3 −1 0 0 9 6 56 1050 0 0 192 29 29 28 1 1 −1 −1 3.37 10 2 30 842 8 72 240 30 2 · 3 · 5 8 3 3 −1 −1 0 10 8 72 1300 0 48 576 31 31 30 1 1 −1 −1 3.43 11 2 32 962 0 0 256 32 25 16 1 5 −1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24 33 3 · 11 20 2 2 1 1 0 11 4 48 1220 0 48 384 34 2 · 17 16 2 2 1 1 0 11 4 54 1450 8 48 432 35 5 · 7 24 2 2 1 1 0 11 4 48 1300 0 48 384 36 22 · 32 12 2 4 1 0 0 11 9 91 1911 4 30 312 37 37 36 1 1 −1 −1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304 38 2 · 19 18 2 2 1 1 0 12 4 60 1810 0 72 480 39 3 · 13 24 2 2 1 1 0 12 4 56 1700 0 0 448 40 23 · 5 16 2 4 1 0 0 12 8 90 2210 8 24 144 41 41 40 1 1 −1 −1 3.71 13 2 42 1682 8 96 336 42 2 · 3 · 7 12 3 3 −1 −1 0 13 8 96 2500 0 48 768 43 43 42 1 1 −1 −1 3.76 14 2 44 1850 0 24 352 44 22 · 11 20 2 3 −1 0 0 14 6 84 2562 0 24 288 45 32 · 5 24 2 3 −1 0 0 14 6 78 2366 8 72 624 46 2 · 23 22 2 2 1 1 0 14 4 72 2650 0 48 576 47 47 46 1 1 −1 −1 3.85 15 2 48 2210 0 0 384 48 24 · 3 16 2 5 −1 0 0 15 10 124 3410 0 8 96 49 72 42 1 2 1 0 1.95 15 3 57 2451 4 54 456 50 2 · 52 20 2 3 −1 0 0 15 6 93 3255 12 84 744 51 3 · 17 32 2 2 1 1 0 15 4 72 2900 0 48 576 52 22 · 13 24 2 3 −1 0 0 15 6 98 3570 8 24 336 53 53 52 1 1 −1 −1 3.97 16 2 54 2810 8 72 432 54 2 · 33 18 2 4 1 0 0 16 8 120 4100 0 96 960 55 5 · 11 40 2 2 1 1 0 16 4 72 3172 0 0 576 56 23 · 7 24 2 4 1 0 0 16 8 120 4250 0 48 192 57 3 · 19 36 2 2 1 1 0 16 4 80 3620 0 48 640 58 2 · 29 28 2 2 1 1 0 16 4 90 4210 8 24 720 59 59 58 1 1 −1 −1 4.08 17 2 60 3482 0 72 480 60 22 · 3 · 5 16 3 4 1 0 0 17 12 168 5460 0 0 576 61 61 60 1 1 −1 −1 4.11 18 2 62 3722 8 72 496 62 2 · 31 30 2 2 1 1 0 18 4 96 4810 0 96 768 63 32 · 7 36 2 3 −1 0 0 18 6 104 4550 0 0 832 64 26 32 1 6 1 0 0.69 18 7 127 5461 4 6 24 65 5 · 13 48 2 2 1 1 0 18 4 84 4420 16 96 672 66 2 · 3 · 11 20 3 3 −1 −1 0 18 8 144 6100 0 96 1152 67 67 66 1 1 −1 −1 4.20 19 2 68 4490 0 24 544 68 22 · 17 32 2 3 −1 0 0 19 6 126 6090 8 48 432 69 3 · 23 44 2 2 1 1 0 19 4 96 5300 0 96 768 70 2 · 5 · 7 24 3 3 −1 −1 0 19 8 144 6500 0 48 1152 71 71 70 1 1 −1 −1 4.26 20 2 72 5042 0 0 576 72 23 · 32 24 2 5 −1 0 0 20 12 195 7735 4 36 312 73 73 72 1 1 −1 −1 4.29 21 2 74 5330 8 48 592 74 2 · 37 36 2 2 1 1 0 21 4 114 6850 8 120 912 75 3 · 52 40 2 3 −1 0 0 21 6 124 6510 0 56 992 76 22 · 19 36 2 3 −1 0 0 21 6 140 7602 0 24 480 77 7 · 11 60 2 2 1 1 0 21 4 96 6100 0 96 768 78 2 · 3 · 13 24 3 3 −1 −1 0 21 8 168 8500 0 48 1344 79 79 78 1 1 −1 −1 4.37 22 2 80 6242 0 0 640 80 24 · 5 32 2 5 −1 0 0 22 10 186 8866 8 24 144 81 34 54 1 4 1 0 1.10 22 5 121 7381 4 102 968 82 2 · 41 40 2 2 1 1 0 22 4 126 8410 8 48 1008 83 83 82 1 1 −1 −1 4.42 23 2 84 6890 0 72 672 84 22 · 3 · 7 24 3 4 1 0 0 23 12 224 10500 0 48 768 85 5 · 17 64 2 2 1 1 0 23 4 108 7540 16 48 864 86 2 · 43 42 2 2 1 1 0 23 4 132 9250 0 120 1056 87 3 · 29 56 2 2 1 1 0 23 4 120 8420 0 0 960 88 23 · 11 40 2 4 1 0 0 23 8 180 10370 0 24 288 89 89 88 1 1 −1 −1 4.49 24 2 90 7922 8 144 720 90 2 · 32 · 5 24 3 4 1 0 0 24 12 234 11830 8 120 1872 91 7 · 13 72 2 2 1 1 0 24 4 112 8500 0 48 896 92 22 · 23 44 2 3 −1 0 0 24 6 168 11130 0 0 576 93 3 · 31 60 2 2 1 1 0 24 4 128 9620 0 48 1024 94 2 · 47 46 2 2 1 1 0 24 4 144 11050 0 96 1152 95 5 · 19 72 2 2 1 1 0 24 4 120 9412 0 0 960 96 25 · 3 32 2 6 1 0 0 24 12 252 13650 0 24 96 97 97 96 1 1 −1 −1 4.57 25 2 98 9410 8 48 784 98 2 · 72 42 2 3 −1 0 0 25 6 171 12255 4 108 1368 99 32 · 11 60 2 3 −1 0 0 25 6 156 11102 0 72 1248 100 22 · 52 40 2 4 1 0 0 25 9 217 13671 12 30 744 nfactorization (n) ω(n) Ω(n) (n) (n) (n) (n) 0(n) 1(n) 2(n) r2(n) r3(n) r4(n)