Введение

Четырехмерный аналог куба – геометрическая фигура.

В геометрии тессеракт, или 4-мерный куб, является четырехмерным гиперкубом, аналогичным двумерному квадрату и трехмерному кубу. Подобно тому, как периметр квадрата состоит из четырех ребер, а поверхность куба – из шести квадратных граней, гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек, соединенных под прямым углом. Тессеракт – один из шести выпуклых правильных 4-политопов. Тессеракт также называют 8-ячейкой, C8, (правильным) октахором или кубической призмой. Он является четырехмерным мерополитопом, принимаемым за единицу измерения гиперобъема. Коксетер обозначает его политопом γ4. Термин «гиперкуб» без указания размерности часто рассматривается как синоним этого конкретного политопа. Оксфордский словарь английского языка отводит происхождение слова «тессеракт» книге Чарльза Говарда Хинтона 1888 года «Новая эра мышления». Термин происходит от греческих слов téssara (τέσσαρα – «четыре») и aktís (ἀκτίς – «луч»), относящихся к четырем ребрам, исходящим из каждой вершины к другим вершинам. Изначально Хинтон писал это слово как тесаракт.

Геометрия

Как регулярный политоп, образованный тремя кубами, сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как 4-мерный гиперпризм из двух параллельных кубов, он может быть назван составным символом Шлефли {4,3} × { }, с порядком симметрии 96. Как 4-4 дупризма, являясь декартовым произведением двух квадратов, он может быть назван составным символом Шлефли {4} × {4}, с порядком симметрии 64. В качестве ортотопа он может быть представлен составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { }4, с порядком симметрии 16. Поскольку каждая вершина тессеракта смежна с четырьмя ребрами, вершинная фигура тессеракта является правильным тетраэдром. Двойственный политоп тессеракта – 16-я ячейка с символом Шлефли {3,3,4}, с которой его можно объединить, чтобы образовать соединение тессеракта и 16-й ячейки. Каждое ребро правильного тессеракта имеет одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы для топологии сети для соединения нескольких процессоров в параллельных вычислениях: расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует множество различных путей для обеспечения балансировки нагрузки. Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями. Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратные грани. Три куба и три квадрата пересекаются в каждом ребре. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. В целом, тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.

Координаты

Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно принимается за базовую единицу измерения гиперобъема в 4-мерном пространстве. В декартовой системе координат 4-мерного пространства единичный тессеракт имеет две противоположные вершины в координатах [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1], а остальные вершины – во всех возможных комбинациях 0 и 1. Он представляет собой декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси. Иногда единичный тессеракт центрируют в начале координат, что делает его координаты более симметричными. В этом случае он также является декартовым произведением замкнутого интервала по каждой оси. Другой часто используемый тессеракт – это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси, с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1). Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2⁴ = 16.

Сеть

Раскрытие политопа называется развёрткой. Существует 261 различная развёртка тессеракта. Развёртки тессеракта можно подсчитать, отображая развёртки в парные деревья (дерево вместе с полным соответствием в его дополнении).

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, рёбрам, граням и ячейкам. Числа на диагонали показывают, сколько элементов каждого типа содержится во всем тессеракте. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в или на элементе строки. Например, число 2 в первом столбце второй строки указывает, что на каждом ребре (то есть на его концах) находится 2 вершины; число 4 во втором столбце первой строки указывает, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.

Тесселяция

Тессеракт, как и все гиперкубы, заполняет (или мостит) евклидово пространство. Самодвойная тессерактическая сотовая структура, состоящая из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеет символ Шлефли {4,3,3,4}. Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта обуславливает, что его заполнение пространства является единственной регулярной гранецентрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом числе измерений.

В популярной культуре

С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Примечательные примеры включают:

«И он построил кривой дом» — научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, в котором фигурирует здание в форме четырехмерного гиперкуба. Эта повесть и «Профессор без сторон» Мартина Гарднера, опубликованный в 1946 году, одни из первых в научной фантастике, познакомившие читателей с лентой Мёбиуса, бутылкой Кляйна и гиперкубом (тессерактом). «Распятие» (Corpus Hypercubus) — картина Сальвадора Дали 1954 года, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест. Гранд-Арк — монумент и здание недалеко от Парижа, Франция, строительство которого было завершено в 1989 году. По словам инженера монумента, Эрика Рейцеля, Гранд-Арк был спроектирован так, чтобы напоминать проекцию гиперкуба. Fez — видеоигра, в которой игрок управляет персонажем, способным видеть за пределами двух измерений, доступных другим персонажам, и должен использовать эту способность для решения платформенных головоломок. В игре присутствует персонаж по имени «Точка» — тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и объясняет, как использовать способности, что соответствует теме восприятия за пределами человеческого понимания известных пространственных измерений. Слово «тессеракт» впоследствии было заимствовано для многочисленных других применений в популярной культуре, в том числе в качестве сюжетного элемента в произведениях научной фантастики, часто не имеющих существенной связи с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения).