Кері квадрат заңы: физикалық принциптер мен қолданылуы

Кіріспе

Физикалық заң

Ғылымда кері квадрат заңы – белгілі бір физикалық шаманың байқалатын "интенсивтігі" сол физикалық шаманың көзінен алысқатырғанның квадратына кері пропорционал екенін көрсететін кез келген ғылыми заң. Бұл құбылыстың түпкі себебін үш өлшемді кеңістікте нүктелік сәулеленуден туындайтын геометриялық таралу ретінде түсінуге болады. Радар энергиясы сигналды жіберу және кері қайтару кезінде таралады, сондықтан екі бағыттың да кері квадраттық тәуелділігі радардың қабылдаған энергиясының қашықтыққа кері төртінші дәрежеде пропорционал екенін білдіреді. Сигналды тарату барысында энергияның таралуын болдырмау үшін, су арнасы сияқты қызмет ететін толқын жетекші, немесе оқпанның ыстық газдың кеңеюін бір өлшемге шектеу арқылы энергияның оққа берілуін сақтау сияқты әдістер қолданылуы мүмкін.

Негіздемесі

Кері квадрат заңы, әдетте, үш өлшемді кеңістіктегі нүктелік көзден сыртқа қарай біркелкі таралатын күш, энергия немесе басқа сақталатын шама үшін қолданылады. Сфераның бетінің ауданы (4πr²) радиус квадратына пропорционалды болғандықтан, шығарылған сәулелену көзден алшақтаған сайын, көзден қашықтықтың квадратына пропорционалды түрде кеңейетін аумаққа таралады. Осыдан келіп, кез келген бірлік аумақтан (нүктелік көзге тікелей қарап тұрған) өтетін сәулеленудің қарқындылығы нүктелік көзден қашықтықтың квадратына кері пропорционалды болады. Гаусс гравитация заңы да осыған ұқсас қолданылады және кері квадрат қатынасына сәйкес әрекет ететін кез келген физикалық шамамен қолданылуы мүмкін.

Гравитация

Гравитация – бұл массасы бар объектілер арасындағы тартылыс күші. Ньютон заңы былай гласиды:

Егер әрбір дененің құрамы сфералық симметрияға ие болса, онда объектілерді қабық теоремасында көрсетілгендей, ешқандай жуықтаусыз нүктелік масса ретінде қарастыруға болады. Әйтпесе, егер массивті денелер арасындағы тартылысты есептеу қажет болса, барлық нүктелік тартылыс күштерін векторлық түрде қосу керек, сондағы жалғыз тартылыс күші міндетті түрде кері квадрат заңына сәйкес келмейді. Дегенмен, егер массивті денелер арасындағы қашықтық олардың өлшемдерінен әлдеқайда артық болса, онда ауырлық күшін есептегенде, массаны дененің массалық орталығында орналасқан нүктелік масса ретінде қарастыру жеткілікті жақындық береді. Бұл заңды алғаш 1645 жылы Исмаэль Бульяльдус гравитация заңы ретінде ұсынған. Бірақ Бульяльдус Кеплердің екінші және үшінші заңдарын қабылдамады, сондай-ақ Христиан Гюйгенстің дөңгелек қозғалысына берген шешімін бағаламады (орталық күшпен бір жаққа тартылатын түзу сызықтағы қозғалыс). Шындығында, Бульяльдус Күннің күшін афелийде тартымды, ал перигелийде итергіш деп сақтады. Роберт Гук пен Джованни Альфонсо Борелли 1666 жылы гравитацияны тартымды күш ретінде түсіндірді. Гуктің «Гравитация туралы» лекциясы 21 наурызда Лондондағы Корольдік қоғамда оқылды. Бореллидің «Планеталар теориясы» 1666 жылдың соңында жарияланды. Гуктің 1670 жылғы Грешем лекциясында гравитация «барлық аспан денелеріне» қатысты екені түсіндірілді және гравитациялық күш қашықтықпен азаяды, ал мұндай күш болмаған жағдайда денелер түзу сызықтармен қозғалады деген қағидалар қосылды. 1679 жылға қарай Гук гравитацияның кері квадратты тәуелділігіне ие екенін ойлады және бұл туралы Исаак Ньютонға хат арқылы хабарлады: менің болжамым – тартылыс күші әрқашан орталықтанғы қашықтыққа пропорционалды және кері шамамен өседі. Гук Ньютонның бұл принципті өзі ойлап тапқанын мәлімдегеніне ашуланып, тіпті Ньютонның 1686 жылғы «Principia» еңбегінде Хоук, Рен және Галлей Күн жүйесінде кері квадрат заңын жеке-жеке түсінгенін, сондай-ақ Бульяльдусқа демеушілік көрсеткенін мойындағанына қарамастан, оның наразылығы басылған жоқ.

If the distribution of matter in each body is spherically symmetric, then the objects can be treated as point masses without approximation, as shown in the shell theorem. Otherwise, if we want to calculate the attraction between massive bodies, we need to add all the point point attraction forces vectorially and the net attraction might not be exact inverse square. However, if the separation between the massive bodies is much larger compared to their sizes, then to a good approximation, it is reasonable to treat the masses as a point mass located at the object's center of mass while calculating the gravitational force. As the law of gravitation, this law was suggested in 1645 by Ismaël Bullialdus. But Bullialdus did not accept Kepler's second and third laws, nor did he appreciate Christiaan Huygens's solution for circular motion (motion in a straight line pulled aside by the central force). Indeed, Bullialdus maintained the sun's force was attractive at aphelion and repulsive at perihelion. Robert Hooke and Giovanni Alfonso Borelli both expounded gravitation in 1666 as an attractive force. Hooke's lecture "On gravity" was at the Royal Society, in London, on 21 March. Borelli's "Theory of the Planets" was published later in 1666. Hooke's 1670 Gresham lecture explained that gravitation applied to "all celestiall bodys" and added the principles that the gravitating power decreases with distance and that in the absence of any such power bodies move in straight lines. By 1679, Hooke thought gravitation had inverse square dependence and communicated this in a letter to Isaac Newton:
my supposition is that the attraction always is in duplicate proportion to the distance from the center reciprocall. Hooke remained bitter about Newton claiming the invention of this principle, even though Newton's 1686 Principia acknowledged that Hooke, along with Wren and Halley, had separately appreciated the inverse square law in the solar system, as well as giving some credit to Bullialdus.

Электростатика

Екі электр заряды бар бөлшектердің арасындағы тартылу немесе итергіш күш, электр зарядтарының көбейтіндісіне тура пропорционал, ал олардың арасындағы қашықтықтың квадратына кері пропорционал болады; бұл Кулон заңы деп аталады. Бұл көрсеткіштің 2-ден ауытқуы 1015-тен бір бөліктен кем.

Жарық және басқа да электромагниттік сәулелену

Нысан көзінен сәулеленетін жарық немесе басқа да сызықтық толқындардың қарқындылығы (немесе жарық беру немесе сәулелену) (бірлік аудандағы энергия), көзден қашықтықтың квадратына кері пропорционал. Сондықтан, екі есе алысқа орналасқан объект (бірдей мөлшерде) бірдей уақыт ішінде энергияның тек төрттен бір бөлігін ғана алады. Жалпы алғанда, сфералық толқынның қарқындылығы, яғни таралу бағытындағы бірлік аудандағы қуаты, көзден қашықтықтың квадратына кері пропорционалды түрде өзгереді (сіңіру немесе шашыраудан туындаған жоғалтулар болмаса). Мысалы, Күн сәулесінің қарқындылығы Меркурийдің қашықтығында (0,387 АЕ) бір шаршы метрге 9126 Вт-қа тең; ал Жердің қашықтығында (1 АЕ) – бір шаршы метрге 1367 Вт ғана. Қашықтық шамамен үш есе ұлғайса, сәулелену қарқындылығы шамамен тоғыз есе кемиді. Параболалық антенналар, фаралар және лазерлер сияқты изотропты емес сәулелендіргіштер үшін тиімді бастапқы нүкте сәуле апертурасының артында орналасқан. Егер сіз бастапқы нүктеге жақын болсаңыз, радиусты екі еселеу үшін көп қашықтыққа барудың қажеті жоқ, сондықтан сигнал тез әлсірейді. Егер сіз бастапқы нүктеден алыс болсаңыз, бірақ сигнал күшті болса (лазер сияқты), радиусты екі еселеу және сигналды әлсірету үшін өте ұзақ қашықтыққа саяхаттауыңыз керек. Бұл сізде күшті сигнал бар екенін немесе антеннаның тар сәуле бағытында, барлық бағыттағы кең сәулеге қарағанда, антеннаның пайдасы бар екенін білдіреді. Фотографияда және сахна жарығында кері квадрат заңы «жарық түсуінің төмендеуі» немесе жарық көзіне жақындағанда немесе одан алыстағанда нысанның жарықтандыру айырмашылығын анықтау үшін қолданылады. Жылдам шамалау үшін қашықтықты екі еселеу жарықтандыруды төрттен бір бөлікке дейін азайтатынын есте сақтау жеткілікті; немесе жарықтандыруды екі есе азайту үшін қашықтықты 1,4 есеге (2-нің квадрат түбірі) ұлғайту керек, ал жарықтандыруды екі есе арттыру үшін қашықтықты 0,7 есеге (1/2-нің квадрат түбірі) азайту керек. Егер жарық көзі нүктелік болмаса, кері квадрат ережесі әлі де пайдалы шамалау болып табылады; егер жарық көзінің мөлшері нысанға дейінгі қашықтықтың бестен бірінен кем болса, есептеу қатесі 1%-дан аспайды. Нүктелік көзден қашықтық артқан сайын, жанама иондаушы сәулеленудің электромагниттік флюенсінің (Φ) салыстырмалы азаюын кері квадрат заңы арқылы есептеуге болады. Нүктелік көзден шығатын сәулелер радиалды бағытта таралатындықтан, олар перпендикуляр түсу бұрышымен келіседі. Мұндай қабықтың ауданы 4πr², мұнда r – орталықтан радиалды қашықтық. Бұл заң диагностикалық рентгенография және сәулелік терапия жоспарлауда ерекше маңызды, бірақ көздің өлшемдері қашықтықтан әлдеқайда кіші болмаса, бұл пропорционалдық практикалық жағдайларда орындалмайды. Фурье теориясында айтылғандай, «нүктелік көз қашықтықтармен ұлғайғанда, оның сәулеленуі бастапқы нүктеден бастап өсетін шеңбердің бұрышының синусына пропорционалды түрде азаяды».

The intensity (or illuminance or irradiance) of light or other linear waves radiating from a point source (energy per unit of area perpendicular to the source) is inversely proportional to the square of the distance from the source, so an object (of the same size) twice as far away receives only one quarter the energy (in the same time period). More generally, the irradiance, i. e., the intensity (or power per unit area in the direction of propagation), of a spherical wavefront varies inversely with the square of the distance from the source (assuming there are no losses caused by absorption or scattering). For example, the intensity of radiation from the Sun is 9126 watts per square meter at the distance of Mercury (0.387 AU); but only 1367 watts per square meter at the distance of Earth (1 AU)—an approximate threefold increase in distance results in an approximate ninefold decrease in intensity of radiation. For non isotropic radiators such as parabolic antennas, headlights, and lasers, the effective origin is located far behind the beam aperture. If you are close to the origin, you don't have to go far to double the radius, so the signal drops quickly. When you are far from the origin and still have a strong signal, like with a laser, you have to travel very far to double the radius and reduce the signal. This means you have a stronger signal or have antenna gain in the direction of the narrow beam relative to a wide beam in all directions of an isotropic antenna. In photography and stage lighting, the inverse square law is used to determine the “fall off” or the difference in illumination on a subject as it moves closer to or further from the light source. For quick approximations, it is enough to remember that doubling the distance reduces illumination to one quarter; or similarly, to halve the illumination increase the distance by a factor of 1.4 (the square root of 2), and to double illumination, reduce the distance to 0.7 (square root of 1/2). When the illuminant is not a point source, the inverse square rule is often still a useful approximation; when the size of the light source is less than one fifth of the distance to the subject, the calculation error is less than 1%. The fractional reduction in electromagnetic fluence (Φ) for indirectly ionizing radiation with increasing distance from a point source can be calculated using the inverse square law. Since emissions from a point source have radial directions, they intercept at a perpendicular incidence. The area of such a shell is 4πr 2 where r is the radial distance from the center. The law is particularly important in diagnostic radiography and radiotherapy treatment planning, though this proportionality does not hold in practical situations unless source dimensions are much smaller than the distance. As stated in Fourier theory of heat “as the point source is magnification by distances, its radiation is dilute proportional to the sin of the angle, of the increasing circumference arc from the point of origin”.

Мысал

P – нүктелік көзден сәулеленген жалпы қуат болсын (мысалы, барлық бағыттағы изотроптық сәулелендіргіш). Көзден алыс қашықтықта (көздің өлшемімен салыстырғанда) бұл қуат көзден қашықтық артқан сайын үлкен сфералық беттерге таралады. Сфераның радиусы r болғанда, оның бетінің ауданы A = 4πr² тең болғандықтан, r қашықтығындағы радиацияның интенсивтілігі I (бірлік ауданға шаққандағы қуат) мына формуламен есептеледі:

Қашықтық r екі есе артқанда энергия немесе интенсивтілік төмендейді (4-ке бөлінеді); егер dB-мен өлшенсе, қашықтық екі еселенген сайын 6,02 dB-ға төмендейді. Қуат шамаларын өлшеу кезінде, қатынасты децибелмен деңгей түрінде көрсетуге болады, ол өлшенген шаманың эталондық мәнге қатынасының 10-дық логарифмін он еселеу арқылы анықталады.

Дала теориясының түсіндірілуі

Үш өлшемді кеңістіктегі айналмайтын векторлық өріс үшін кері квадрат заңы, көзден тыс кеңістікте дивергенцияның нөлге тең болу қасиетімен сәйкес келеді. Бұл жоғары өлшемдерге жалпыланады. Жалпы, n өлшемді Евклид кеңістігіндегі айналмайтын векторлық өріс үшін векторлық өрістің "I" қарқындылығы "r" қашықтығымен кері (n-1)-дәреже заңы бойынша төмендейді, егер көзден тыс кеңістік дивергенциясыз болса.

Евклидтік емес әсерлері

Евклид кеңістіктеріндегі негізгі заң – кері квадрат заңы, Евклид емес геометрияларға, оның ішінде гиперболалық кеңістікке де қолданылады. Бұл кеңістіктердегі ішкі қисықтық физикалық заңдарға әсер етеді, бұл космология, жалпы салыстырмалылық теориясы және іс тізбесі теориясы сияқты салалардың негізін құрайды. Джон Д. Барроу 2020 жылғы "Евклид емес Ньютондық космология" мақаласында гиперболалық 3 кеңістікте (H3) күштің (F) және потенциалдың (Φ) қалай өзгеретінін сипаттайды. Ол F және Φ формулаларға бағынатынын көрсетеді: F ∝ 1 / R^2 sinh^2(r/R) және Φ ∝ coth(r/R), мұнда R – қисықтық радиусы, ал r – фокус нүктесінен қашықтық. Димитрия Электра Гатциа мен Рекс Д. Рамсье 2021 жылғы зерттемелерінде кері квадрат заңы кеңістіктің өлшемдеріне қарағанда күш таралуының симметриясына көбірек қатысты екенін дәлелдейді.