Закон обратных квадратов в физике

Введение

В науке закон обратного квадрата — это любой научный закон, утверждающий, что наблюдаемая «интенсивность» определенной физической величины обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника этой величины. Фундаментальная причина этого может быть объяснена геометрическим рассеянием, соответствующим излучению точечного источника в трехмерном пространстве. Энергия радара распространяется как при передаче сигнала, так и при отражении, поэтому закон обратного квадрата, действующий на обоих участках пути, означает, что радар будет принимать энергию обратно пропорциональную четвертой степени дальности. Для предотвращения рассеяния энергии при распространении сигнала могут использоваться различные методы, такие как волновод, который действует подобно каналу для воды, или, например, ствол огнестрельного оружия, ограничивающий расширение горячих газов до одного измерения, чтобы избежать потери энергии при передаче пуле.

Обоснование

Закон обратного квадрата обычно применяется, когда некоторая сила, энергия или другая сохраняющаяся величина равномерно излучается от точечного источника в трехмерном пространстве. Поскольку площадь поверхности сферы (равная 4πr²) пропорциональна квадрату радиуса, по мере удаления излучения от источника, оно распределяется по площади, увеличивающейся пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через единичную площадь (направленную непосредственно к точечному источнику), обратно пропорциональна квадрату расстояния от этого источника. Закон Гаусса для гравитации аналогичным образом применим и может быть использован для любой физической величины, действующей в соответствии с законом обратного квадрата.

Гравитация

Гравитация — это притяжение между объектами, обладающими массой. Закон Ньютона гласит:

Если распределение вещества в каждом теле сферически симметрично, то объекты можно рассматривать как точечные массы без каких-либо приближений, как показано в теореме о сферической оболочке. В противном случае, если мы хотим рассчитать притяжение между массивными телами, нам необходимо векторно сложить все силы притяжения между точками, и результирующее притяжение может не точно соответствовать закону обратных квадратов. Однако, если расстояние между массивными телами значительно больше их размеров, то для достаточно точного приближения разумно рассматривать массы как точечные, расположенные в центре масс объекта, при вычислении гравитационной силы. Этот закон, как закон гравитации, был предложен в 1645 году Исмаилом Бульяльдусом. Но Бульяльдус не принял второй и третий законы Кеплера, а также не оценил решение Кристиана Гюйгенса относительно кругового движения (движения по прямой, отклоняемого центральной силой). Фактически, Бульяльдус считал, что сила Солнца является притягивающей в афелии и отталкивающей в перигелии. Роберт Хук и Джованни Альфонсо Борелли оба изложили теорию гравитации в 1666 году как притягательную силу. Лекция Хука «О гравитации» была прочитана в Королевском обществе в Лондоне 21 марта. «Теория планет» Борелли была опубликована позднее в 1666 году. В своей лекции в Грэшеме в 1670 году Хук объяснил, что гравитация применима ко «всем небесным телам» и добавил принципы, согласно которым гравитирующая сила уменьшается с расстоянием, а тела в отсутствие такой силы движутся по прямым линиям. К 1679 году Хук пришел к выводу, что гравитация подчиняется закону обратных квадратов, и сообщил об этом в письме Исааку Ньютону:
мое предположение состоит в том, что притяжение всегда пропорционально квадрату расстояния от центра обратно. Хук оставался обиженным тем, что Ньютон приписал себе открытие этого принципа, хотя в «Математических началах натуральной философии» 1686 года Ньютон признал, что Хук, вместе с Вреном и Галлеем, независимо пришли к пониманию закона обратных квадратов в Солнечной системе, а также выразил некоторую признательность Бульяльдусу.

If the distribution of matter in each body is spherically symmetric, then the objects can be treated as point masses without approximation, as shown in the shell theorem. Otherwise, if we want to calculate the attraction between massive bodies, we need to add all the point point attraction forces vectorially and the net attraction might not be exact inverse square. However, if the separation between the massive bodies is much larger compared to their sizes, then to a good approximation, it is reasonable to treat the masses as a point mass located at the object's center of mass while calculating the gravitational force. As the law of gravitation, this law was suggested in 1645 by Ismaël Bullialdus. But Bullialdus did not accept Kepler's second and third laws, nor did he appreciate Christiaan Huygens's solution for circular motion (motion in a straight line pulled aside by the central force). Indeed, Bullialdus maintained the sun's force was attractive at aphelion and repulsive at perihelion. Robert Hooke and Giovanni Alfonso Borelli both expounded gravitation in 1666 as an attractive force. Hooke's lecture "On gravity" was at the Royal Society, in London, on 21 March. Borelli's "Theory of the Planets" was published later in 1666. Hooke's 1670 Gresham lecture explained that gravitation applied to "all celestiall bodys" and added the principles that the gravitating power decreases with distance and that in the absence of any such power bodies move in straight lines. By 1679, Hooke thought gravitation had inverse square dependence and communicated this in a letter to Isaac Newton:
my supposition is that the attraction always is in duplicate proportion to the distance from the center reciprocall. Hooke remained bitter about Newton claiming the invention of this principle, even though Newton's 1686 Principia acknowledged that Hooke, along with Wren and Halley, had separately appreciated the inverse square law in the solar system, as well as giving some credit to Bullialdus.

Электростатическая

Сила притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами, помимо прямой пропорциональности произведению электрических зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; это известно как закон Кулона. Отклонение показателя степени от 2 составляет менее одной части в 10¹⁵.

Свет и другое электромагнитное излучение

Интенсивность (или освещенность, или облученность) света или других линейных волн, излучаемых из точечного источника (энергия на единицу площади, перпендикулярной источнику), обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, поэтому объект (одинакового размера), находящийся в два раза дальше, получает только четверть энергии (за тот же период времени). В более общем виде, облучение, то есть интенсивность (или мощность на единицу площади в направлении распространения) сферического волнового фронта, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника (при условии отсутствия потерь, вызванных поглощением или рассеянием). Например, интенсивность излучения Солнца составляет 9126 Вт на квадратный метр на расстоянии Меркурия (0,387 а.е.); но только 1367 Вт на квадратный метр на расстоянии Земли (1 а.е.) – приблизительное трехкратное увеличение расстояния приводит к приблизительному девятикратному снижению интенсивности излучения. Для неизотропных излучателей, таких как параболические антенны, фары и лазеры, эффективное начало находится далеко за апертурой луча. Если вы находитесь близко к источнику, не нужно большого изменения расстояния, чтобы удвоить радиус, поэтому сигнал быстро ослабевает. Когда вы находитесь далеко от источника и сигнал все еще сильный, как в случае с лазером, необходимо пройти очень большое расстояние, чтобы удвоить радиус и уменьшить сигнал. Это означает, что сигнал сильнее или имеется усиление антенны в направлении узкого луча по сравнению с широким лучом изотропной антенны во всех направлениях. В фотографии и сценическом освещении закон обратных квадратов используется для определения "отпада" или разницы в освещении объекта при его приближении или удалении от источника света. Для быстрых приближений достаточно помнить, что удвоение расстояния уменьшает освещенность до одной четверти; или, аналогично, чтобы уменьшить освещенность наполовину, увеличьте расстояние в 1,4 (квадратный корень из 2), а чтобы удвоить освещенность, уменьшите расстояние до 0,7 (квадратный корень из 1/2). Когда осветитель не является точечным источником, правило обратных квадратов часто все еще является полезным приближением; если размер источника света меньше одной пятой расстояния до объекта, погрешность расчета составляет менее 1%. Фракционное уменьшение электромагнитной флуенции (Φ) для косвенно ионизирующего излучения с увеличением расстояния от точечного источника можно рассчитать, используя закон обратных квадратов. Поскольку излучение от точечного источника имеет радиальное направление, оно пересекает поверхность под прямым углом. Площадь такой сферы равна 4πr², где r – радиальное расстояние от центра. Этот закон особенно важен в диагностической рентгенографии и планировании лучевой терапии, хотя эта пропорциональность не соблюдается в практических ситуациях, если размеры источника намного меньше расстояния. Как указано в теории Фурье о теплоте, "по мере увеличения расстояния от точечного источника его излучение рассеивается пропорционально синусу угла, образованного увеличивающейся дугой окружности от точки происхождения".

The intensity (or illuminance or irradiance) of light or other linear waves radiating from a point source (energy per unit of area perpendicular to the source) is inversely proportional to the square of the distance from the source, so an object (of the same size) twice as far away receives only one quarter the energy (in the same time period). More generally, the irradiance, i. e., the intensity (or power per unit area in the direction of propagation), of a spherical wavefront varies inversely with the square of the distance from the source (assuming there are no losses caused by absorption or scattering). For example, the intensity of radiation from the Sun is 9126 watts per square meter at the distance of Mercury (0.387 AU); but only 1367 watts per square meter at the distance of Earth (1 AU)—an approximate threefold increase in distance results in an approximate ninefold decrease in intensity of radiation. For non isotropic radiators such as parabolic antennas, headlights, and lasers, the effective origin is located far behind the beam aperture. If you are close to the origin, you don't have to go far to double the radius, so the signal drops quickly. When you are far from the origin and still have a strong signal, like with a laser, you have to travel very far to double the radius and reduce the signal. This means you have a stronger signal or have antenna gain in the direction of the narrow beam relative to a wide beam in all directions of an isotropic antenna. In photography and stage lighting, the inverse square law is used to determine the “fall off” or the difference in illumination on a subject as it moves closer to or further from the light source. For quick approximations, it is enough to remember that doubling the distance reduces illumination to one quarter; or similarly, to halve the illumination increase the distance by a factor of 1.4 (the square root of 2), and to double illumination, reduce the distance to 0.7 (square root of 1/2). When the illuminant is not a point source, the inverse square rule is often still a useful approximation; when the size of the light source is less than one fifth of the distance to the subject, the calculation error is less than 1%. The fractional reduction in electromagnetic fluence (Φ) for indirectly ionizing radiation with increasing distance from a point source can be calculated using the inverse square law. Since emissions from a point source have radial directions, they intercept at a perpendicular incidence. The area of such a shell is 4πr 2 where r is the radial distance from the center. The law is particularly important in diagnostic radiography and radiotherapy treatment planning, though this proportionality does not hold in practical situations unless source dimensions are much smaller than the distance. As stated in Fourier theory of heat “as the point source is magnification by distances, its radiation is dilute proportional to the sin of the angle, of the increasing circumference arc from the point of origin”.

Пример

Пусть P – общая мощность, излучаемая точечным источником (например, всенаправленным изотропным излучателем). На больших расстояниях от источника (по сравнению с размерами источника) эта мощность распределяется по всё более крупным сферическим поверхностям с увеличением расстояния от источника. Поскольку площадь поверхности сферы радиуса r равна A = 4πr², интенсивность I (мощность на единицу площади) излучения на расстоянии r равна

Энергия или интенсивность уменьшается в четыре раза при удвоении расстояния r; если измерять в децибелах, то уменьшение составит 6,02 дБ при каждом удвоении расстояния. Применительно к измерениям величин мощности, отношение можно выразить в виде уровня в децибелах, вычислив десятикратный логарифм по основанию 10 от отношения измеренного значения к опорному.

Интерпретация теории поля

Для ирротационного векторного поля в трехмерном пространстве закон обратных квадратов соответствует тому, что дивергенция равна нулю вне источника. Это можно обобщить на пространства более высокой размерности. В общем случае, для ирротационного векторного поля в n-мерном евклидовом пространстве, интенсивность "I" векторного поля убывает с расстоянием "r" по закону обратной (n − 1)-й степени, при условии, что пространство вне источника не имеет дивергенции.

Неевклидово следствие

Закон обратного квадрата, фундаментальный в евклидовых пространствах, также применим к неевклидовым геометриям, включая гиперболическое пространство. Внутренняя кривизна этих пространств влияет на физические законы, являясь основой для таких областей, как космология, общая теория относительности и теория струн. Джон Д. Барроу в своей статье 2020 года «Неевклидова ньютоновская космология» подробно рассматривает поведение силы (F) и потенциала (Φ) в гиперболическом пространстве 3 (H3). Он показывает, что F и Φ подчиняются формулам F ∝ 1 / R^2 sinh^2(r/R) и Φ ∝ coth(r/R), где R и r обозначают радиус кривизны и расстояние от фокусной точки соответственно. Димитрия Электра Гатция и Рекс Д. Рамсье в своей работе 2021 года утверждают, что закон обратного квадрата скорее относится к симметрии в распределении силы, чем к размерности пространства.