Введение
Непустое, ограниченное сверху, замкнутое вниз подмножество.
В математической теории порядка идеал — это специальное подмножество частично упорядоченного множества (посета). Хотя этот термин исторически произошел от понятия идеала кольца в абстрактной алгебре, впоследствии он был обобщен до другого понятия. Идеалы имеют большое значение для многих построений в теории порядка и решеток.
Смешанная терминология
Вышеуказанные определения "идеального" и "идеального порядка" являются стандартными, но в терминологии существует некоторая путаница. Иногда термины и определения, такие как "идеал", "идеал порядка", "идеал Фрэнка" или "частично упорядоченный идеал", используются как синонимы.
Максимальные идеалы
Идеал I является максимальным, если он собственный и не существует собственного идеала J, являющегося строгим надмножеством I. Аналогично, фильтр F является максимальным, если он правильный и не существует правильного фильтра, являющегося строгим надмножеством. Когда полурешётка является распределительной решёткой, максимальные идеалы и фильтры обязательно являются простыми, в то время как обратное утверждение в общем случае неверно. Максимальные фильтры иногда называют ультрафильтрами, но эта терминология часто зарезервирована для булевых алгебр, где максимальный фильтр (идеал) – это фильтр (идеал), содержащий ровно один из элементов {a, ¬a} для каждого элемента a булевой алгебры. В булевых алгебрах термины "простой идеал" и "максимальный идеал" совпадают, как и термины "простой фильтр" и "максимальный фильтр". Существует ещё одно интересное понятие максимальности идеалов: рассмотрим идеал I и фильтр F, такие что I и F не пересекаются. Нас интересует идеал M, который является максимальным среди всех идеалов, содержащих I и не пересекающихся с F. В случае распределительной решётки такой M всегда является простым идеалом. Доказательство этого утверждения приводится ниже. Однако в общем случае неясно, существует ли какой-либо идеал M, максимальный в этом смысле. Тем не менее, если мы предположим аксиому выбора в нашей теории множеств, то можно доказать существование M для каждой пары непересекающегося фильтра и идеала. В частном случае, когда рассматриваемый порядок является булевой алгеброй, эта теорема называется теоремой Буля о простых идеалах. Она строго слабее аксиомы выбора, и оказывается, что для многих теоретико-порядковых приложений идеалов больше ничего не требуется.
Приложения
Конструкция идеалов и фильтров является важным инструментом во многих приложениях теории порядка. В теореме представления Стоуна для булевых алгебр максимальные идеалы (или, эквивалентно, через отображение отрицания, ультрафильтры) используются для получения множества точек топологического пространства, чьи открыто-замкнутые множества изоморфны исходной булевой алгебре. Теория порядка располагает множеством процедур дополнения, позволяющих преобразовать частично упорядоченные множества в частично упорядоченные множества с дополнительными свойствами полноты. Например, идеальное дополнение данного частичного порядка P – это множество всех идеалов P, упорядоченное по включению подмножеств. Эта конструкция дает свободный dcpo, порожденный P. Идеал называется главным тогда и только тогда, когда он компактен в идеальном дополнении, поэтому исходное частично упорядоченное множество может быть восстановлено как подмножество, состоящее из компактных элементов. Более того, любое алгебраическое dcpo может быть реконструировано как идеальное дополнение множества его компактных элементов.
История
Идеалы были введены Маршаллом Х. Стоуном первоначально для булевых алгебр, где название произошло от идеалов колец в абстрактной алгебре. Он использовал эту терминологию, поскольку, благодаря изоморфизму категорий булевых алгебр и булевых колец, эти два понятия действительно совпадают. Обобщение на произвольные частично упорядоченные множества было выполнено Фринком.