Введение
Бинарное отношение, такое что если A связано с B и отличается от него, то B не связано с A.
В математике, бинарное отношение на множестве называется антисимметричным, если не существует пары различных элементов, каждый из которых связан с другим. Более формально, отношение является антисимметричным тогда и только тогда, когда для всех
или, что эквивалентно,
Определение антисимметричности ничего не говорит о том, выполняется ли для каких-либо . Антисимметричное отношение на множестве может быть рефлексивным (то есть, для всех ), иррефлексивным (то есть, для ни одного ), или не рефлексивным и не иррефлексивным. Отношение является асимметричным тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно.
Примеры
Отношение делимости на натуральных числах является важным примером антисимметричного отношения. В этом контексте антисимметрия означает, что единственный способ, которым каждое из двух чисел может делиться на другое, – это если оба числа на самом деле одно и то же число; эквивалентно, если *a* и *b* различны и *a* является делителем *b*, то *b* не может быть делителем *a*. Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12. Обычное отношение порядка на действительных числах антисимметрично: если для двух действительных чисел *x* и *y* выполняются оба неравенства *x* ≤ *y* и *y* ≤ *x*, то *x* и *y* должны быть равны. Аналогично, отношение включения подмножеств на подмножествах любого заданного множества является антисимметричным: если даны два множества *A* и *B*, и если каждый элемент из *A* также содержится в *B*, и каждый элемент из *B* также содержится в *A*, то *A* и *B* должны содержать одни и те же элементы и, следовательно, быть равными.
Примером из реальной жизни антисимметричного отношения является отношение "оплатил счёт ресторана" (понимается как относящееся к конкретному случаю). Обычно некоторые люди оплачивают свои собственные счета, а другие – счета своих супругов или друзей. Пока никто не оплачивает счёт другого, отношение остаётся антисимметричным.
Свойства
Частичные и полные порядки антисимметричны по определению. Отношение может быть одновременно симметричным и антисимметричным (в этом случае оно должно быть корефлексивным), и существуют отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение "является жертвой" между биологическими видами). Антисимметрия отличается от асимметрии: отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивно.