Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Свойство, которое присваивает значения истинности k-м кортежам индивидов.
Property that assigns truth values to k tuples of individuals
В математике, финитарное отношение над последовательностью множеств X1, …, Xn является подмножеством декартова произведения X1 × … × Xn; то есть, это множество n-кортежей (x1, …, xn), каждый из которых представляет собой последовательность элементов xi из соответствующего множества Xi. Как правило, отношение описывает возможную связь между элементами n-кортежа. Например, отношение "x делится на y и z" состоит из множества 3-кортежей, которые при подстановке вместо x, y и z соответственно делают утверждение истинным. Неотрицательное целое число n, определяющее количество "мест" в отношении, называется аритетом, адичностью или степенью отношения. Отношения с n "местами" могут называться n-арными отношениями, n-адичными отношениями или отношениями степени n. Отношения с конечным числом мест называются финитарными отношениями (или просто отношениями, если контекст понятен). Также возможно обобщить понятие на бесконечноарные отношения с бесконечными последовательностями.
In mathematics, a finitary relation over a sequence of sets X1, , Xn is a subset of the Cartesian product X1 × × Xn; that is, it is a set of n tuples (x1, , xn), each being a sequence of elements xi in the corresponding Xi. Typically, the relation describes a possible connection between the elements of an n tuple. For example, the relation "x is divisible by y and z" consists of the set of 3 tuples such that when substituted to x, y and z, respectively, make the sentence true. The non negative integer n that gives the number of "places" in the relation is called the arity, adicity or degree of the relation. A relation with n "places" is variously called an n ary relation, an n adic relation or a relation of degree n. Relations with a finite number of places are called finitary relations (or simply relations if the context is clear). It is also possible to generalize the concept to infinitary relations with infinite sequences.
Ничто
Нулевые отношения (0-арные) состоят только из двух элементов: пустого нулевого отношения, которое никогда не выполняется, и универсального нулевого отношения, которое всегда выполняется. Это связано с тем, что существует только одна 0-кортеж – пустая кортеж, и ровно два подмножества (одиночного) множества всех 0-кортежей. Они иногда полезны для построения базового случая при доказательстве индукцией.
Nullary (0 ary) relations count only two members: the empty nullary relation, which never holds, and the universal nullary relation, which always holds. This is because there is only one 0 tuple, the empty tuple , and there are exactly two subsets of the (singleton) set of all 0 tuples. They are sometimes useful for constructing the base case of an induction argument.
Унарный
Унарные (1-арные) отношения можно рассматривать как совокупность элементов (например, совокупность лауреатов Нобелевской премии), обладающих некоторым свойством (например, свойством быть удостоенными Нобелевской премии). Каждая нульарная функция является унарным отношением.
Unary (1 ary) relations can be viewed as a collection of members (such as the collection of Nobel laureates) having some property (such as that of having been awarded the Nobel prize). Every nullary function is a unary relation.
Трехмерный
Троичные (3-арные) отношения включают, например, бинарные функции, которые сопоставляют два входных значения и выходное. Все три области определения однородного троичного отношения являются одним и тем же множеством.
Ternary (3 ary) relations include, for example, the binary functions, which relate two inputs and the output. All three of the domains of a homogeneous ternary relation are the same set.
История
Логик Август Де Морган, в работе, опубликованной около 1860 года, первым сформулировал понятие отношения в современном понимании этого термина. Он также представил первые формальные результаты в теории отношений (о Де Моргане и отношениях см. Меррилл, 1990). Чарльз Пирс, Готлоб Фреге, Георг Кантор, Рихард Дедекинд и другие развивали теорию отношений. Многие из их идей, особенно касающиеся отношений, называемых упорядочениями, были обобщены в "Принципах математики" (1903), где Бертран Рассел широко использовал эти результаты. В 1970 году Эдгар Кодд предложил реляционную модель для баз данных, тем самым предвосхитив разработку систем управления базами данных.
The logician Augustus De Morgan, in work published around 1860, was the first to articulate the notion of relation in anything like its present sense. He also stated the first formal results in the theory of relations (on De Morgan and relations, see Merrill 1990). Charles Peirce, Gottlob Frege, Georg Cantor, Richard Dedekind and others advanced the theory of relations. Many of their ideas, especially on relations called orders, were summarized in The Principles of Mathematics (1903) where Bertrand Russell made free use of these results. In 1970, Edgar Codd proposed a relational model for databases, thus anticipating the development of data base management systems.