Введение
Правила, используемые для построения или преобразования символов и слов языка.
В логике синтаксис охватывает все, что связано с формальными языками или формальными системами, вне зависимости от какой-либо интерпретации или значения, придаваемого им. Синтаксис изучает правила построения или преобразования символов и слов языка, в отличие от семантики, которая занимается значением языка. Символы, формулы, системы, теоремы и доказательства, выраженные формальными языками, являются синтаксическими объектами, свойства которых можно исследовать, не принимая во внимание какое-либо значение, которое им может быть присвоено, и, фактически, не обязательно присваивать вообще. Синтаксис обычно ассоциируется с правилами (или грамматикой), регулирующими состав текстов на формальном языке, которые образуют правильно сформированные формулы формальной системы. В информатике термин "синтаксис" относится к правилам, регулирующим состав правильно сформированных выражений в языке программирования. Как и в математической логике, он независим от семантики и интерпретации.
Символы
Символ — это идея, абстракция или концепция, экземплярами которой могут быть знаки или метаязык знаков, образующие определенный шаблон. Символы формального языка не обязательно должны обозначать что-либо. Например, существуют логические константы, которые не отсылают ни к какой идее, а скорее служат формой пунктуации в языке (например, скобки). Символ или последовательность символов может составлять корректную формулу, если ее построение соответствует правилам формирования языка. Символы формального языка должны быть определимы без какой-либо привязки к их интерпретации.
Формальный язык
Формальный язык — это синтаксическая единица, состоящая из множества конечных строк символов, которые являются его словами (обычно называемыми правильно построенными формулами). Какие строки символов считаются словами, определяет создатель языка, как правило, посредством задания набора правил построения. Такой язык может быть определен без привязки к какому-либо значению его выражений; он может существовать до того, как ему будет дано какое-либо истолкование, то есть до того, как он приобретет какое-либо значение.
Правила формирования
Правила формирования – это точное описание того, какие последовательности символов являются правильно построенными формулами формального языка. Это эквивалентно множеству строк над алфавитом формального языка, составляющих правильно построенные формулы. Однако они не описывают их семантику (то есть, их значение).
Предложения
Утверждение — это высказывание, выражающее что-то истинное или ложное. Утверждение онтологически идентифицируется как идея, концепция или абстракция, экземпляры которой представлены образцами символов, отметок, звуков или последовательностей слов. Утверждения рассматриваются как синтаксические единицы и носители истинности.
Формальные теории
Формальная теория — это множество предложений в формальном языке.
Формальные системы
Формальная система (также называемая логическим исчислением или логической системой) состоит из формального языка и дедуктивного аппарата (также называемого дедуктивной системой). Дедуктивный аппарат может состоять из набора правил преобразования (также называемых правилами вывода), набора аксиом или включать и то, и другое. Формальная система используется для вывода одного выражения из одного или нескольких других выражений. Формальные системы, подобно другим синтаксическим образованиям, могут быть определены без какой-либо интерпретации (например, как система арифметики).
Синтаксическое следствие в рамках формальной системы
Формула А является синтаксическим следствием в некоторой формальной системе множества Γ формул, если существует доказательство формулы А из множества Γ в этой формальной системе.
Синтаксическое следствие не зависит от какой-либо интерпретации формальной системы.
Синтаксическая полнота формальной системы
Формальная система синтаксически полна (также дедуктивно полна, максимально полна, полна по отрицанию или просто полна), если для каждой формулы A языка системы либо A, либо ¬A является теоремой. В другом смысле, формальная система синтаксически полна, если к ней нельзя добавить никакую недоказуемую аксиому в качестве аксиомы, не вызвав при этом противоречия. Функциональная логика высказываний и логика предикатов первого порядка семантически полны, но не синтаксически полны (например, высказывание логики высказываний, состоящее из одной переменной "a", не является теоремой, и его отрицание также не является теоремой, хотя это и не тавтологии). Теорема о неполноте Гёделя показывает, что никакая достаточно мощная рекурсивная система, такая как аксиомы Пеано, не может быть одновременно согласованной и полной.
Интерпретации
Интерпретация формальной системы – это назначение значений символам и значений истинности предложениям этой формальной системы. Изучение интерпретаций называется формальной семантикой. Предоставление интерпретации равносильно построению модели. Интерпретация выражается на метаязыке, который сам может быть формальным языком и, таким образом, является синтаксической сущностью.