Введение
Количество, не имеющее физической размерности. Безразмерные величины, также известные как величины с размерностью единица, неявно определяются таким образом, чтобы предотвратить их объединение в единицы измерения. Как правило, они выражаются в виде отношений, соотнесенных с другой системой, и не требуют явно определенных единиц. Например, процентное содержание алкоголя по объему (ABV) представляет собой отношение объемов. Его вывод остается независимым от конкретных единиц объема; может быть использована любая общепринятая единица. Важно отметить, что ABV никогда не выражается в миллилитрах на миллилитр, что подчеркивает его безразмерность. Число один признано безразмерной базовой величиной. Радианы служат безразмерными единицами для измерения углов, вытекающими из универсального соотношения, согласно которому 2π, умноженное на радиус окружности, равно ее длине окружности. Безразмерные величины играют важную роль, выступая в качестве параметров в дифференциальных уравнениях в различных технических областях. В математическом анализе такие понятия, как безразмерные отношения в пределах или производных, часто включают безразмерные величины. В дифференциальной геометрии использование безразмерных параметров очевидно в геометрических соотношениях и преобразованиях. Физика использует безразмерные числа, такие как число Рейнольдса в гидродинамике, постоянная тонкой структуры в квантовой механике и фактор Лоренца в теории относительности. В химии безразмерными являются свойства состояния и отношения, такие как мольные доли и отношения концентраций.
Dimensionless quantities, also known as quantities of dimension one are implicitly defined in a manner that prevents their aggregation into units of measurement. Typically expressed as ratios that align with another system, these quantities do not necessitate explicitly defined units. For instance, alcohol by volume (ABV) represents a volumetric ratio. Its derivation remains independent of the specific units of volume used; any common unit may be applied. Notably, ABV is never expressed as milliliters per milliliter, underscoring its dimensionless nature. The number one is recognized as a dimensionless base quantity. Radians serve as dimensionless units for angular measurements, derived from the universal ratio of 2π times the radius of a circle being equal to its circumference. Dimensionless quantities play a crucial role serving as parameters in differential equations in various technical disciplines. In calculus, concepts like the unitless ratios in limits or derivatives often involve dimensionless quantities. In differential geometry, the use of dimensionless parameters is evident in geometric relationships and transformations. Physics relies on dimensionless numbers like the Reynolds number in fluid dynamics, the fine structure constant in quantum mechanics, and the Lorentz factor in relativity. In chemistry, state properties and ratios such as mole fractions concentration ratios are dimensionless.
История
Величины с размерностью единица, безразмерные величины, регулярно встречаются в науках и формально рассматриваются в рамках размерного анализа. В XIX веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл внесли значительный вклад в развитие современных представлений о размерности и единицах измерения. Последующие работы британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея способствовали пониманию безразмерных чисел в физике. Развивая метод Рэлея в размерном анализе, Эдгар Баккингем доказал теорему (независимо от более ранних работ французского математика Жозефа Бертрана), формализующую природу этих величин. Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были введены в начале 1900-х годов, особенно в областях гидромеханики и теплопередачи. Измерение логарифмов отношений в качестве уровней в производной единице децибел (дБ) широко используется в настоящее время. Периодически выдвигались предложения по "усовершенствованию" системы СИ для уменьшения путаницы в отношении физических размерностей. Например, в статье, опубликованной в журнале Nature в 2017 году, предлагалось формализовать радиан как физическую единицу измерения. Эта идея была отвергнута, поскольку такое изменение привело бы к несоответствиям как для устоявшихся безразмерных групп, таких как число Строухала, так и для математически различных величин, имеющих одинаковые единицы измерения, например, крутящего момента (векторного произведения) и энергии (скалярного произведения). В другом случае, в начале 2000-х годов, Международный комитет мер и весов обсуждал присвоение единице измерения 1 названия "уно", но идея простого введения нового названия СИ для 1 была отклонена.
Теорема Букингема о π
Теорема Букингема указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от выбора конкретной системы единиц. Формулировка этой теоремы заключается в том, что любой физический закон может быть выражен в виде тождества, включающего только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных этим законом (например, давление и объем связаны законом Бойля – они обратно пропорциональны друг другу). Если бы значения безразмерных комбинаций изменялись при переходе к другой системе единиц, то уравнение не было бы тождеством, и теорема Букингема не выполнялась бы. Другим следствием теоремы является то, что функциональная зависимость между некоторым числом (обозначим его n) переменных может быть сведена к зависимости между p = n − k независимыми безразмерными величинами, где k – число независимых размерностей, присутствующих в исходных переменных. Для экспериментатора различные системы, описываемые одинаковыми безразмерными величинами, эквивалентны.
Целые числа
Целые числа могут представлять безразмерные величины. Комплексные числа могут представлять дискретные величины, которые также могут быть безразмерными. В частности, натуральные числа могут использоваться для выражения счетных величин. Это понятие формализовано как число объектов (символ N) в ISO 80000-1. Примеры включают число частиц и размер популяции. В математике число элементов в множестве называется кардинальностью. Счетные существительные – смежная лингвистическая концепция. Натуральные числа, такие как число бит, могут комбинироваться с единицами частоты (обратная секунда) для получения единиц скорости счета, например, бит в секунду. Данные о подсчете – смежная концепция в статистике. Понятие может быть обобщено, позволяя использовать нецелые числа для учета долей целого объекта, например, число оборотов, равное половине.
Соотношения, пропорции и углы
Безразмерные величины могут быть получены как отношения величин, которые сами по себе не являются безразмерными, но чьи размерности сокращаются в результате математической операции. Примеры отношений с размерностью единица включают вычисление угловых коэффициентов или некоторые коэффициенты пересчета единиц измерения. Другой пример – массовые и мольные доли, часто записываемые в виде долей, таких как ppm (= 10−6), ppb (= 10−9) и ppt (= 10−12), или, что может ввести в заблуждение, как отношения двух одинаковых единиц (кг/кг или моль/моль). Например, содержание спирта по объему, характеризующее концентрацию этанола в алкогольном напитке, можно записать как мл/100 мл. Другими распространенными пропорциями являются проценты % (= 0,01) и промилле ‰ (= 0,001). Некоторые угловые единицы, такие как оборот, радиан и стерадиан, определяются как отношения величин одного и того же рода. В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему значению и используется для измерения разброса данных. Утверждается, что величины, определяемые как отношения 1=Q = A/B с одинаковыми размерностями в числителе и знаменателе, на самом деле являются лишь величинами без размерности, но при этом сохраняют физическую размерность, определяемую как… Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влажность, м3⋅м−3, размерность L⋅L) или как отношение масс (массовая влажность, единицы кг⋅кг−1, размерность M⋅M); оба эти значения будут безразмерными, но иметь разные размерности.