Кіріспе
Егер A-мен B байланысты болса және олар бір-бірінен өзгеше болса, онда B-мен A байланысты болмайды. Математикада, жиынтақтағы екілік қатынас антисимметриялық деп аталады, егер жиынтың екі әртүрлі элементінің әрқайсысы бір-бірімен байланысты болмаса. Формальды түрде, қатынас антисимметриялық болады, егер барлық үшін немесе теңдік орындалмаса.
In mathematics, a binary relation on a set is antisymmetric if there is no pair of distinct elements of each of which is related by to the other. More formally, is antisymmetric precisely if for all
or equivalently,
The definition of antisymmetry says nothing about whether actually holds or not for any An antisymmetric relation on a set may be reflexive (that is, for all ), irreflexive (that is, for no ), or neither reflexive nor irreflexive. A relation is asymmetric if and only if it is both antisymmetric and irreflexive.
Антисимметрияның анықтамасы кез келген элементтер үшін байланыс орындала ма, жоқ па, туралы ештеңе айтпайды. Жиынтақтағы антисимметриялық қатынас рефлексивті (яғни, барлық үшін), рефлексивті емес (яғни, ешбір үшін) немесе рефлексивті де, рефлексивті емес те болмауы мүмкін. Қатынас асимметриялық болады, тек қана егер ол антисимметриялық және рефлексивті емес болса ғана.
In mathematics, a binary relation on a set is antisymmetric if there is no pair of distinct elements of each of which is related by to the other. More formally, is antisymmetric precisely if for all
or equivalently,
The definition of antisymmetry says nothing about whether actually holds or not for any An antisymmetric relation on a set may be reflexive (that is, for all ), irreflexive (that is, for no ), or neither reflexive nor irreflexive. A relation is asymmetric if and only if it is both antisymmetric and irreflexive.
Мысалдар
Натурал сандардағы бөліну қатынасы антисимметриялық қатынастың маңызды мысалы болып табылады. Бұл жағдайда антисимметрия екі санның біріне екіншісімен бөлінетін жалғыз жағдай – егер екеуі де бірдей сан болса; яғни, егер және екі түрлі сан болса және біріншісі екіншісінің бөлгіші болса, онда екіншісі біріншісінің бөлгіші бола алмайды. Мысалы, 12 саны 4-ке бөлінеді, бірақ 4 саны 12-ге бөлінбейді. Нақты сандардағы әдеттегі реттік қатынас антисимметриялық: егер екі нақты сан үшін және екі теңсіздік орындалса, онда және тең болуы керек. Сол сияқты, кез келген жиынның ішкі жиындары арасындағы ішкі жиындық реттілік антисимметриялық: егер екі жиын берілген және бірінші жиынның әрбір элементе екінші жиында да болса, ал екінші жиынның әрбір элементе бірінші жиында да болса, онда екі жиын да бірдей элементтерден тұруы керек және демек, тең болуы керек.
Нақты өмірдегі антисимметриялық қатынасқа мысал – «ресторан шотын төледі» (нақты бір жағдаймен шектелген). Әдетте, кейбір адамдар өз шоттарын төлейді, ал басқалары жұбайларының немесе достарының шоттарын төлейді. Егер екі адам бір-бірінің шоттарын төлемесе, қатынас антисимметриялық болады.
Қасиеттері
Ішінара және толық реттер анықтама бойынша антисимметриялық болып табылады. Қарым-қатынас симметриялық және антисимметриялық бола алады (мұндай жағдайда ол өзіне-өзі рефлексивті болуы керек), сондай-ақ симметриялық та, антисимметриялық та емес қарым-қатынастар да бар (мысалы, биологиялық түрлер арасындағы "жемеу" қатынасы). Антисимметрия асимметриядан өзгеше: қарым-қатынас асимметриялық болады, егер және тек қана ол антисимметриялық және рефлексиясыз болса.