Введение

Квантовое число, связанное со слабым взаимодействием

В ядерной физике и физике частиц изоспин (I) — это квантовое число, связанное с содержанием верхних и нижних кварков в частице. Изоспин также известен как изобарический спин или изотопный спин. Изоспиновая симметрия является частью более широкой ароматической симметрии, наблюдаемой во взаимодействиях барионов и мезонов. Название концепции содержит термин «спин», поскольку её квантовомеханическое описание математически аналогично описанию углового момента (в частности, способу его соединения; например, пара протон-нейтрон может быть соединена в состояние полного изоспина 1 или 0). Однако, в отличие от углового момента, это безразмерная величина и не является каким-либо видом вращения. До введения концепции кварков частицы, одинаково подверженные сильному взаимодействию, но имеющие разные заряды (например, протоны и нейтроны), считались различными состояниями одной и той же частицы, обладающими значениями изоспина, связанными с числом состояний заряда. Эти состояния имеют различные значения для внутренней координаты изоспина. Математические свойства этой координаты полностью аналогичны внутреннему спиновому угловому моменту (спину). Компонента оператора для этой координаты имеет собственные значения + и −; она связана с оператором заряда :

который имеет собственные значения для протона и ноль для нейтрона, где nu и nd — числа верхних и нижних кварков соответственно.

В любой комбинации кварков третья компонента вектора изоспина (I3) может быть ориентирована согласованно между парой кварков или направлена в противоположную сторону, что приводит к различным возможным значениям полного изоспина для любой комбинации кварковых ароматов. Адроны с одинаковым кварковым составом, но с разным полным изоспином, могут быть экспериментально различимы, что подтверждает, что аромат является векторной величиной, а не скалярной (верхний против нижнего кварка — это просто проекция на квантовую механическую ось z пространства ароматов). Например, странный кварк может быть объединен с верхним и нижним кварками для образования бариона, но существует два различных способа комбинирования значений изоспина: либо сложение (из-за согласованности ароматов), либо вычитание (из-за противоположных направлений ароматов). Состояние с изоспином 1 (the) и состояние с изоспином 0 (the) имеют различные экспериментально определяемые массы и периоды полураспада.

Изоспин и симметрия

Изоспин рассматривается как симметрия сильного взаимодействия, связанная с группой Ли SU(2), где два состояния соответствуют верхнему и нижнему кваркам. В квантовой механике, если гамильтониан обладает симметрией, эта симметрия проявляется в виде набора состояний с одинаковой энергией (такие состояния называются вырожденными). Проще говоря, оператор энергии сильного взаимодействия дает одинаковый результат при перестановке верхнего кварка и нижнего кварка, идентичного ему во всех остальных отношениях. Как и в случае обычного спина, оператор изоспина I является векторным: он имеет три компоненты – Ix, Iy и Iz, которые являются координатами в трехмерном векторном пространстве, где действует 3-мерное представление. Важно отметить, что это векторное пространство не связано с физическим пространством, за исключением схожего математического формализма. Изоспин описывается двумя квантовыми числами: I – полным изоспином и I3 – собственным значением проекции Iz, для которого состояния аромата являются собственными состояниями. Иными словами, каждое состояние I3 определяет конкретное ароматическое состояние в мультиплете. Третья координата (z), к которой относится индекс "3", выбрана в соответствии с общепринятыми обозначениями, связывающими базисы в 2-мерном и 3-мерном пространствах представлений. В частности, для случая спина компоненты I равны матрицам Паули, деленным на 2, и, следовательно, Iz = τ3, где, хотя формы этих матриц изоморфны матрицам спина, матрицы Паули действуют только в гильбертовом пространстве изоспина, а не спина, поэтому их обычно обозначают τ, а не σ, чтобы избежать путаницы. Хотя изоспиновая симметрия на самом деле нарушена лишь незначительно, симметрия SU(3) нарушена сильнее из-за значительно большей массы странного кварка по сравнению с верхним и нижним кварками. Открытие очарованного, ботомного и топ-кварков могло бы привести к дальнейшему расширению до симметрии аромата SU(6), которая выполнялась бы, если бы все шесть кварков были идентичными. Однако, гораздо большие массы очарованного, ботомного и топ-кварков означают, что симметрия аромата SU(6) сильно нарушена в природе (по крайней мере, при низких энергиях), и предположение о ее существовании приводит к качественно и количественно неверным предсказаниям. В современных приложениях, таких как решетчатая КХД, изоспиновая симметрия часто рассматривается как точная для трех легких кварков (uds), в то время как три тяжелых кварка (cbt) должны рассматриваться отдельно.

Происхождение изоспина

В 1932 году Вернер Гейзенберг предложил новую (безымянную) концепцию для объяснения связи протона и только что открытого нейтрона (символ n). Его модель была похожа на модель связи для молекулы-иона водорода H2+: один электрон разделялся двумя протонами. Теория Гейзенберга имела ряд проблем, наиболее заметной из которых было неверное предсказание исключительно высокой энергии связи He+2, альфа-частиц. Однако его одинаковое отношение к протону и нейтрону приобрело значение, когда ряд экспериментальных исследований показал, что эти частицы должны связываться почти с одинаковой силой. В ответ Юджин Вигнер использовал концепцию Гейзенберга в своей статье 1937 года, где он ввел термин "изотопический спин", чтобы указать на сходство этой концепции со спином в плане поведения.

Зоопарк частиц

Эти соображения также оказались бы полезными при анализе взаимодействий мезонов и нуклонов после открытия пионов в 1947 году. Три пиона (, , ) можно отнести к изоспиновому триплету с I=1 и I3 = +1, 0 или −1. Предполагая, что изоспин сохраняется при ядерных взаимодействиях, новые мезоны легче вписывались в ядерную теорию. По мере открытия новых частиц, они распределялись по изоспиновым мультиплетам в соответствии с количеством различных зарядовых состояний: 2 дублета K-мезонов (, ), (, ), изоспиновый триплет сигма-барионов (, , ), синглет ламбда-бариона с I=0, квартет дельта-барионов (, , , ) и так далее. Мощность изоспиновой симметрии и связанных с ней методов заключается в наблюдении, что семейства частиц с близкими массами, как правило, соответствуют инвариантным подпространствам, связанным с неприводимыми представлениями алгебры Ли SU(2). В этом контексте инвариантное подпространство порождается базисными векторами, соответствующими частицам в семействе. Под действием алгебры Ли SU(2), генерирующей вращения в изоспиновом пространстве, элементы, соответствующие определенным состояниям частиц или суперпозициям состояний, могут переходить друг в друга, но никогда не покидают это пространство (поскольку подпространство действительно инвариантно). Это отражает существующую симметрию. Тот факт, что унитарные матрицы коммутируют с гамильтонианом, означает, что вычисленные физические величины не изменяются даже при унитарном преобразовании. В случае изоспина, этот аппарат используется для отражения того факта, что математическое описание сильного взаимодействия остается неизменным при перестановке протона и нейтрона (в современной формулировке, верхнего и нижнего кварков).

Пример: Дельта-барионы

Например, частицы, известные как дельта-барионы, были сгруппированы вместе, поскольку все они имеют почти одинаковую массу (приблизительно 1232) и взаимодействуют почти одинаково. Их можно рассматривать как одну и ту же частицу, при этом разница в заряде обусловлена тем, что частица находится в различных состояниях. Изоспин был введен для описания этой разницы в состояниях. По аналогии со спином, каждой заряженной состоянию соответствует изоспиновая проекция (обозначается I3); поскольку существует четыре дельта-бариона, потребовалось четыре проекции. Как и в случае спина, изоспиновые проекции изменяются с шагом в 1. Следовательно, для обеспечения четырех шагов по 1 необходимо значение изоспина (что дает проекции ). Таким образом, все дельта-барионы имеют изоспин , а каждый отдельный заряд соответствует различным значениям I3 (например, соответствует ). В рамках изоспиновой картины четыре дельта-бариона и два нуклона рассматриваются как различные состояния двух частиц. В настоящее время дельта-барионы понимаются как состоящие из смеси трех верхних и нижних кварков: uuu, uud, udd и ddd; разница в заряде обусловлена разницей в зарядах верхнего и нижнего кварков (+e и −e соответственно). Тем не менее, их также можно рассматривать как возбужденные состояния нуклонов.

Измеренная изоспиновая симметрия

Были предприняты попытки продвижения изоспина от глобальной к локальной симметрии. В 1954 году Чэнь Нин Янг и Роберт Миллс предположили, что представление о протонах и нейтронах, непрерывно переходящих друг в друга посредством изоспина, должно изменяться от точки к точке. Для описания этого необходимо определить направление протона и нейтрона в изоспиновом пространстве в каждой точке, создавая локальный базис для изоспина. Затем калибровочное поле описывает, как преобразовывать изоспин вдоль пути между двумя точками. Эта теория Янга — Миллса описывает взаимодействующие векторные бозоны, подобные фотону электромагнетизма. В отличие от фотона, калибровочная теория SU(2) содержит самодействующие калибровочные бозоны. Условие калибровочной инвариантности подразумевает, что они должны быть безмассовыми, как и в электромагнетизме. Игнорируя проблему безмассовости, как сделали Янг и Миллс, теория делает однозначный прогноз: векторная частица должна универсально взаимодействовать со всеми частицами заданного изоспина. Взаимодействие с нуклоном должно быть таким же, как и с каонами. Взаимодействие с пионами должно быть таким же, как самовзаимодействие векторных бозонов. Когда Янг и Миллс предложили теорию, не существовало кандидата в векторные бозоны. В 1960 году Дж. Дж. Сакурай предсказал существование массивного векторного бозона, взаимодействующего с изоспином, и предсказал, что он будет демонстрировать универсальные взаимодействия. Ро-мезоны были обнаружены вскоре после этого и быстро идентифицированы как векторные бозоны Сакураи. Взаимодействия ро-мезонов с нуклонами и друг с другом были экспериментально подтверждены как универсальные, насколько позволяли измерения. Тот факт, что диагональный изоспиновый ток содержит часть электромагнитного тока, привёл к предсказанию смешивания ро-фотонов и концепции векторного мезонного доминирования – идей, которые привели к успешным теоретическим моделям рассеяния фотонов на ядрах в области энергий ГэВ.

Введение кварков

Открытие и последующий анализ дополнительных частиц, как мезонов, так и барионов, ясно показали, что концепция изоспиновой симметрии может быть расширена до еще большей группы симметрии, теперь называемой симметрией вкуса. Как только каоны и их свойство странности стали лучше понятны, стало ясно, что и они, казалось, являются частью расширенной симметрии, включающей изоспин в качестве подгруппы. Мюррей Гелл-Манн назвал эту более крупную симметрию «Восьмикратным путем», и вскоре было установлено, что она соответствует присоединенному представлению SU(3). Чтобы лучше понять происхождение этой симметрии, Гелл-Манн предположил существование верхнего, нижнего и странного кварков, которые принадлежали бы к фундаментальному представлению симметрии вкуса SU(3). В кварковой модели проекция изоспина (I3) определялась кварковым составом частиц: uud для протона и udd для нейтрона. Строго говоря, состояния дублетов нуклонов рассматриваются как линейные комбинации произведений 3 состояний дублетов изоспина и дублетов спина. То есть, волновая функция протона со спином вверх, выраженная через собственные состояния кварковой ароматизации, описывается