Андрей Иванович Лексель: Жизнь и научные труды

Введение

Андерс Йохан Лексель (24 декабря 1740 – 11 декабря 1784 [по старому стилю 30 ноября 1784]) – финский шведский астроном, математик и физик, большую часть жизни проведший в Императорской России, где он был известен как Андрей Иванович Лексель. Лексель сделал важные открытия в полигонометрии и небесной механике; последнее привело к названию в его честь одной из комет. В «Большой энциклопедии» отмечается, что он был выдающимся математиком своего времени, внесшим вклад в сферическую тригонометрию новыми и интересными решениями, которые он использовал в качестве основы для своих исследований движения комет и планет. Его имя носит теорема о сферических треугольниках. Лексель был одним из самых продуктивных членов Российской академии наук того времени, опубликовав 66 работ за 16 лет своей деятельности. Существует высказывание, приписываемое Леонарду Эйлеру, выражающее высокую оценку трудам Лекселя: «Кроме Лекселя, подобную работу мог бы написать только Д’Аламбер или я». Даниэль Бернулли также высоко оценивал его работы, написав в письме Иоганну Эйлеру: «Мне нравятся работы Лекселя, они глубоки и интересны, а их ценность еще больше возрастает благодаря его скромности, которая свойственна великим людям». Лексель был не женат и поддерживал близкую дружбу с Леонардом Эйлером и его семьей. Он был свидетелем смерти Эйлера у себя дома и сменил Эйлера на посту руководителя математического отделения в Российской академии наук, но скончался в следующем году. В его честь назван астероид 2004 Лекселл и лунный кратер Лекселл.

Ранние годы

Андерс Йохан Лекселл родился в Турку в семье Йохана Лекселла, ювелира и местного административного служащего, и Мадлен Катерины, урождённой Бьёркегрен. В четырнадцать лет он поступил в Академию Або, а в 1760 году получил степень доктора философии, защитив диссертацию «Aphorismi mathematico physici» (научный руководитель Якоб Гадолин). В 1763 году Лекселл переехал в Уппсалу и работал в Уппсальском университете лектором по математике. С 1766 года он был профессором математики в Уппсальской навигационной школе.

Санкт-Петербург

В 1762 году Екатерина Великая взошла на российский престол и начала политику просвещенного абсолютизма. Она понимала важность науки и приказала предложить Леонарду Эйлеру "сообщить о своих условиях, как только он переедет в Санкт-Петербург без задержки". Вскоре после возвращения в Россию Эйлер предложил директору Российской академии наук пригласить Лекселя для изучения математики и ее применения к астрономии, особенно сферической геометрии. Приглашение Эйлера и подготовка к наблюдению за транзитом Венеры 1769 года из восьми пунктов в обширной Российской империи побудили Лекселя искать возможность стать членом петербургского научного сообщества. Для принятия в Российскую академию наук Лекселл в 1768 году написал работу по интегральному исчислению под названием "Methodus integrandi nonnulis aequationum exemplis illustrata". Эйлер был назначен рецензентом работы и дал ей высокую оценку, после чего граф Владимир Орлов, директор Российской академии наук, пригласил Лекселла на должность адъюнкта по математике, которую Лекселл принял. В том же году он получил разрешение от шведского короля покинуть Швецию и переехал в Санкт-Петербург. Его первой задачей было ознакомиться с астрономическими инструментами, которые должны были быть использованы при наблюдениях за транзитом Венеры. Он участвовал в наблюдении за транзитом 1769 года в Санкт-Петербурге вместе с Кристианом Майером, которого Академия наняла для работы в обсерватории, пока российские астрономы отправлялись в другие пункты. Лекселл внес значительный вклад в лунную теорию и особенно в определение параллакса Солнца на основе результатов наблюдений за транзитом Венеры. Он получил всеобщее признание, и в 1771 году, при приеме новых членов в Российскую академию наук, Лекселл был избран академиком по астрономии. Он также стал членом Стокгольмской академии и Уппсальской академии в 1773 и 1774 годах, а также корреспондентом Парижской королевской академии наук.

In 1762, Catherine the Great ascended to the Russian throne and started the politics of enlightened absolutism. She was aware of the importance of science and ordered to offer Leonhard Euler to "state his conditions, as soon as he moves to St. Petersburg without delay". Soon after his return to Russia, Euler suggested that the director of the Russian Academy of Science should invite Lexell to study mathematics and its application to astronomy, especially spherical geometry. The invitation by Euler and the preparations that were made at that time to observe the 1769 transit of Venus from eight locations in the vast Russian Empire made Lexell seek the opportunity to become a member of the St. Petersburg scientific community. To be admitted to the Russian Academy of Sciences, Lexell in 1768 wrote a paper on integral calculus called "Methodus integrandi nonnulis aequationum exemplis illustrata". Euler was appointed to evaluate the paper and highly praised it, and Count Vladimir Orlov, director of the Russian Academy of Sciences, invited Lexell to the position of mathematics adjunct, which Lexell accepted. In the same year he received permission from the Swedish king to leave Sweden, and moved to St. Petersburg. His first task was to become familiar with the astronomical instruments that would be used in the observations of the transit of Venus. He participated in observing the 1769 transit at St. Petersburg together with Christian Mayer, who was hired by the Academy to work at the observatory while the Russian astronomers went to other locations. Lexell made a large contribution to Lunar theory and especially to determining the parallax of the Sun from the results of observations of the transit of Venus. He earned universal recognition and, in 1771, when the Russian Academy of Sciences affiliated new members, Lexell was admitted as an Astronomy academician, he also became a member of the Academy of Stockholm and Academy of Uppsala in 1773 and 1774, and became a corresponding member of the Paris Royal Academy of Sciences.

Зарубежная поездка

В 1775 году шведский король назначил Лекселла на кафедру математики в Университете Або с разрешением остаться в Санкт-Петербурге еще на три года для завершения работы; это разрешение позднее было продлено еще на два года. Таким образом, в 1780 году Лекселл должен был покинуть Санкт-Петербург и вернуться в Швецию, что стало бы большой потерей для Российской академии наук. Поэтому директор Домашнев предложил Лекселлу совершить путешествие по Германии, Англии и Франции, а затем вернуться в Санкт-Петербург через Швецию. Лекселл осуществил эту поездку и, к удовлетворению Академии, получил отпуск от шведского короля и вернулся в Санкт-Петербург в 1781 году, после более чем года отсутствия, весьма довольный своим путешествием. Отправка академиков за границу была в то время довольно редким явлением (в отличие от первых лет существования Российской академии наук), поэтому Лекселл охотно согласился на эту поездку. Ему было поручено составить маршрут, который без изменений был подписан Домашневым. Цели поездки были следующими: поскольку Лекселл собирался посетить крупные обсерватории, он должен был изучить, как они построены, отметить количество и типы используемых научных инструментов, а если обнаружит что-то новое и интересное, то приобрести планы и чертежи. Ему также следовало узнать все о картографии и постараться получить новые географические, гидрографические, военные и минералогические карты. Кроме того, он должен был регулярно отправлять в Академию письма с сообщениями об интересных новостях в области науки, искусства и литературы. Лекселл покинул Санкт-Петербург в конце июля 1780 года на парусном корабле и через Свинемунде прибыл в Берлин, где пробыл месяц и отправился в Потсдам, безуспешно добиваясь аудиенции у короля Фридриха II. В сентябре он отправился в Баварию, посетив Лейпциг, Гёттинген и Мангейм. В октябре он добрался до Страсбурга, а затем в Париж, где провел зиму. В марте 1781 года он переехал в Лондон. В августе он покинул Лондон и направился в Бельгию, где посетил Фландрию и Брабант, затем перебрался в Нидерланды, побывал в Гааге, Амстердаме и Саардаме, а в сентябре вернулся в Германию. Он посетил Гамбург, а затем сел на корабль в Киле, чтобы отправиться в Швецию; по пути он провел три дня в Копенгагене. В Швеции он побывал в своем родном городе Або, а также посетил Стокгольм, Уппсалу и Аландские острова. В начале декабря 1781 года Лекселл вернулся в Санкт-Петербург, после почти полутора лет путешествия. В архиве Академии сохранилось 28 писем, которые Лекселл написал во время поездки Иоганну Эйлеру, в то время как официальные отчеты, которые Эйлер отправлял директору Академии Домашневу, были утеряны. Однако неофициальные письма Иоганну Эйлеру часто содержат подробные описания мест и людей, с которыми Лекселл встречался, а также его впечатления.

In 1775, the Swedish King appointed Lexell to a chair of the mathematics department at the University of Åbo with permission to stay at St. Petersburg for another three years to finish his work there; this permission was later prolonged for two more years. Hence, in 1780, Lexell was supposed to leave St. Petersburg and return to Sweden, which would have been a great loss for the Russian Academy of Sciences. Therefore, Director Domashnev proposed that Lexell travel to Germany, England, and France and then to return to St. Petersburg via Sweden. Lexell made the trip and, to the Academy's pleasure, got a discharge from the Swedish King and returned to St. Petersburg in 1781, after more than a year of absence, very satisfied with his trip. Sending academicians abroad was quite rare at that time (as opposed to the early years of the Russian Academy of Sciences), so Lexell willingly agreed to make the trip. He was instructed to write his itinerary, which without changes was signed by Domashnev. The aims were as follows: since Lexell would visit major observatories on his way, he should learn how they were built, note the number and types of scientific instruments used, and if he found something new and interesting he should buy the plans and design drawings. He should also learn everything about cartography and try to get new geographic, hydrographic, military, and mineralogic maps. He should also write letters to the Academy regularly to report interesting news on science, arts, and literature. Lexell departed St. Petersburg in late July 1780 on a sailing ship and via Swinemünde arrived in Berlin, where he stayed for a month and travelled to Potsdam, seeking in vain for an audience with King Frederick II. In September he left for Bavaria, visiting Leipzig, Göttingen, and Mannheim. In October he traveled to Straßbourg and then to Paris, where he spent the winter. In March 1781 he moved to London. In August he left London for Belgium, where he visited Flanders and Brabant, then moved to the Netherlands, visited The Hague, Amsterdam, and Saardam, and then returned to Germany in September. He visited Hamburg and then boarded a ship in Kiel to sail to Sweden; he spent three days in Kopenhagen on the way. In Sweden he spent time in his native city Åbo, and also visited Stockholm, Uppsala, and Åland. In early December 1781 Lexell returned to St. Petersburg, after having travelled for almost a year and a half. There are 28 letters in the archive of the academy that Lexell wrote during the trip to Johann Euler, while the official reports that Euler wrote to the Director of the academy, Domashnev, were lost. However, unofficial letters to Johann Euler often contain detailed descriptions of places and people whom Lexell had met, and his impressions.

Последние годы

Лекселл очень привязался к Леонарду Эйлеру, который потерял зрение в последние годы жизни, но продолжал работать, используя своего старшего сына Иоганна Эйлера для чтения ему. Лекселл оказал Леонарду Эйлеру значительную помощь, особенно в применении математики к физике и астрономии. Он помогал Эйлеру в вычислениях и подготовке публикаций. 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, во время беседы с Лекселлом о недавно открытом Уране и его орбите, Эйлеру стало плохо. Он скончался спустя несколько часов. Метод Лекселла заключается в следующем: для заданного нелинейного дифференциального уравнения (например, второго порядка) выбирается промежуточный интеграл – дифференциальное уравнение первого порядка с неопределенными коэффициентами и показателями. После дифференцирования этого промежуточного интеграла он сравнивается с исходным уравнением, что позволяет получить уравнения для коэффициентов и показателей промежуточного интеграла. Затем, выразив неопределенные коэффициенты через известные, мы подставляем их в промежуточный интеграл и получаем два частных решения исходного уравнения. Вычитая одно частное решение из другого, мы избавляемся от дифференциалов и получаем общее решение, которое анализируется при различных значениях констант. Метод понижения порядка дифференциального уравнения был известен в то время, но в другой форме. Метод Лекселла был важен, поскольку он применим к широкому классу линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имевших важное значение для физических приложений. В том же году Лекселл опубликовал еще одну статью "Об интегрировании дифференциального уравнения andny + ban 1dm 1ydx + can 2dm 2ydx2 + + rydxn = Xdxn", представляющую собой общий, высокоалгоритмичный метод решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами. Лекселл также исследовал критерии интегрируемости дифференциальных уравнений, пытаясь найти критерии как для целых дифференциальных уравнений, так и для отдельных дифференциалов. В 1770 году он вывел критерий интегрируемости дифференциальной функции, доказал его для любого числа элементов и нашел критерии интегрируемости для , , Его результаты согласовались с результатами Леонарда Эйлера, но были более общими и получены без использования вариационного исчисления. По просьбе Эйлера, в 1772 году Лекселл передал эти результаты Лагранжу и Ламберту. Параллельно с Эйлером, Лекселл работал над расширением метода интегрирующего множителя на дифференциальные уравнения более высокого порядка, разработав метод интегрирования дифференциальных уравнений с двумя или тремя переменными с использованием интегрирующего множителя. Он отметил, что его метод можно расширить и на случай четырех переменных: "Формулы будут более сложными, а задачи, приводящие к таким уравнениям, редки в анализе". Представляет интерес также интегрирование дифференциальных уравнений в статье Лекселла "Об приведении интегральных формул к ректификации эллипсов и гипербол", посвященной эллиптическим интегралам и их классификации, а также в его статье "Интегрирование одной дифференциальной формулы с логарифмами и круговыми функциями", перепечатанной в трудах Шведской академии наук. Он также интегрировал несколько сложных дифференциальных уравнений в своих работах по механике сплошных сред, включая частное дифференциальное уравнение четвертого порядка в работе о скручивании гибкой пластины в кольцо. В архиве Российской академии наук имеется неопубликованная работа Лекселла под названием "Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений", в которой представлено полное решение уравнения, ныне известного как уравнение Д’Аламбера.

Lexell became very attached to Leonhard Euler, who lost his sight in his last years but continued working using his elder son Johann Euler to read for him. Lexell helped Leonhard Euler greatly, especially in applying mathematics to physics and astronomy. He helped Euler to write calculations and prepare papers. On 18 September 1783, after a lunch with his family, during a conversation with Lexell about the newly discovered Uranus and its orbit, Euler felt sick. He died a few hours later. which was highly praised by Leonhard Euler in 1768. Lexell's method is as follows: for a given nonlinear differential equation (e. g. second order) we pick an intermediate integral—a first order differential equation with undefined coefficients and exponents. After differentiating this intermediate integral we compare it with the original equation and get the equations for the coefficients and exponents of the intermediate integral. After we express the undetermined coefficients via the known coefficients we substitute them in the intermediate integral and get two particular solutions of the original equation. Subtracting one particular solution from another we get rid of the differentials and get a general solution, which we analyse at various values of constants. The method of reducing the order of the differential equation was known at that time, but in another form. Lexell's method was significant because it was applicable to a broad range of linear differential equations with constant coefficients that were important for physics applications. In the same year, Lexell published another article "On integrating the differential equation andny + ban 1dm 1ydx + can 2dm 2ydx2 + + rydxn = Xdxn" presenting a general highly algorithmic method of solving higher order linear differential equations with constant coefficients. Lexell also looked for criteria of integrability of differential equations. He tried to find criteria for the whole differential equations and also for separate differentials. In 1770 he derived a criterion for integrating differential function, proved it for any number of items, and found the integrability criteria for , , His results agreed with those of Leonhard Euler but were more general and were derived without the means of calculus of variations. At Euler's request, in 1772 Lexell communicated these results to Lagrange and Lambert. Concurrently with Euler, Lexell worked on expanding the integrating factor method to higher order differential equations. He developed the method of integrating differential equations with two or three variables by means of the integrating factor. He stated that his method could be expanded for the case of four variables: "The formulas will be more complicated, while the problems leading to such equations are rare in analysis". Also of interest is the integration of differential equations in Lexell's paper "On reducing integral formulas to rectification of ellipses and hyperbolae", which discusses elliptic integrals and their classification, and in his paper "Integrating one differential formula with logarithms and circular functions", which was reprinted in the transactions of the Swedish Academy of Sciences. He also integrated a few complicated differential equations in his papers on continuum mechanics, including a four order partial differential equation in a paper about coiling a flexible plate to a circular ring. There is an unpublished Lexell paper in the archive of the Russian Academy of Sciences with the title "Methods of integration of some differential equations", in which a complete solution of the equation , now known as the Уравнение Д’Аламбера, is presented.

Полигонометрия

Полигонометрия была важной частью работы Лекселла. Он использовал тригонометрический подход, опираясь на достижения в тригонометрии, главным образом благодаря Эйлеру, и представил общий метод решения простых многоугольников в двух статьях под названием «О решении прямолинейных многоугольников». Лекселл рассматривал две отдельные группы задач: в первой многоугольник задавался своими сторонами и углами, во второй – своими диагоналями и углами между диагоналями и сторонами. Для задач первой группы Лекселл вывел две общие формулы, дающие уравнения для решения многоугольника с n сторонами. Используя эти теоремы, он получил явные формулы для треугольников и четырехугольников, а также привел формулы для пятиугольников, шестиугольников и семиугольников. Он также представил классификацию задач для четырехугольников, пятиугольников и шестиугольников. Для задач второй группы Лекселл показал, что их решения можно свести к нескольким общим правилам, и представил классификацию этих задач, решив соответствующие комбинаторные задачи. Во второй статье он применил свой общий метод к конкретным четырехугольникам и показал, как применить его к многоугольнику с любым числом сторон, используя в качестве примера пятиугольник. Швейцарский математик Л’Хюйе стал продолжателем тригонометрического подхода Лекселла (в отличие от координатного подхода). И Л’Хюйе, и Лекселл подчеркивали важность полигонометрии для теоретических и практических приложений.

Небесная механика и астрономия

Первой работой Лекселла в Российской академии наук был анализ данных, собранных в ходе наблюдения за прохождением Венеры по диску Солнца в 1769 году. Он опубликовал четыре статьи в "Novi Commentarii Academia Petropolitanae" и завершил свою работу монографией об определении параллакса Солнца, изданной в 1772 году. Лекселл оказал помощь Эйлеру в завершении его лунной теории и был указан в качестве соавтора в работе Эйлера 1772 года "Theoria motuum Lunae". После этого Лекселл посвятил большую часть своих усилий астрономии комет (хотя его первая статья о вычислении орбиты кометы датируется 1770 годом). В течение следующих десяти лет он вычислил орбиты всех вновь открытых комет, среди которых была комета, открытая Шарлем Мессье в 1770 году. Лекселл рассчитал её орбиту, показал, что у кометы был значительно больший перигелий до сближения с Юпитером в 1767 году, и предсказал, что после повторной встречи с Юпитером в 1779 году она будет полностью выброшена из внутренней Солнечной системы. Эта комета впоследствии получила название кометы Лекселла. Лекселл также первым вычислил орбиту Урана и фактически доказал, что это планета, а не комета. Он выполнил предварительные расчёты во время путешествия по Европе в 1781 году, основываясь на наблюдениях Гершеля и Маскелина. Вернувшись в Россию, он более точно определил орбиту на основе новых наблюдений, но из-за большого орбитального периода данных всё ещё было недостаточно, чтобы доказать, что орбита не является параболической. Затем Лекселл обнаружил запись о звезде, наблюдавшейся в 1759 году Кристианом Майером в созвездии Рыб, которой не было ни в каталогах Флэмстида, ни на небе к тому времени, когда её искал Боде. Лекселл предположил, что это более раннее наблюдение того же астрономического объекта, и, используя эти данные, вычислил точную орбиту, которая оказалась эллиптической, тем самым доказав, что новый объект на самом деле является планетой. Помимо вычисления параметров орбиты, Лекселл также более точно оценил размер планеты, чем его современники, используя Марс, который в то время находился вблизи новой планеты. Лекселл также заметил, что орбита Урана испытывает возмущения. Затем он предположил, что, основываясь на его данных о различных кометах, размер Солнечной системы может достигать 100 а.е. и даже больше, и что там могут существовать другие планеты, вызывающие возмущения на орбите Урана (хотя положение Нептуна было вычислено гораздо позже Урбеном Леверье).

Lexell's first work at the Russian Academy of Sciences was to analyse data collected from the observation of the 1769 transit of Venus. He published four papers in "Novi Commentarii Academia Petropolitanae" and ended his work with a monograph on determining the parallax of the Sun, published in 1772. Lexell aided Euler in finishing his Lunar theory, and was credited as a co author in Euler's 1772 "Theoria motuum Lunae". After that, Lexell spent most of his effort on comet astronomy (though his first paper on calculating the orbit of a comet is dated 1770). In the next ten years he calculated the orbits of all the newly discovered comets, among them the comet which Charles Messier discovered in 1770. Lexell calculated its orbit, showed that the comet had had a much larger perihelion before the encounter with Jupiter in 1767 and predicted that after encountering Jupiter again in 1779 it would be altogether expelled from the inner Solar System. This comet was later named Lexell's Comet. Lexell also was the first to calculate the orbit of Uranus and to actually prove that it was a planet rather than a comet. He made preliminary calculations while travelling in Europe in 1781 based on Hershel's and Maskelyne's observations. Having returned to Russia, he estimated the orbit more precisely based on new observations, but due to the long orbital period it was still not enough data to prove that the orbit was not parabolic. Lexell then found the record of a star observed in 1759 by Christian Mayer in Pisces that was neither in the Flamsteed catalogues nor in the sky by the time Bode sought it. Lexell presumed that it was an earlier sighting of the same astronomical object and using this data he calculated the exact orbit, which proved to be elliptical, and proved that the new object was actually a planet. In addition to calculating the parameters of the orbit Lexell also estimated the planet's size more precisely than his contemporaries using Mars that was in the vicinity of the new planet at that time. Lexell also noticed that the orbit of Uranus was being perturbed. He then stated that, based on his data on various comets, the size of the Solar System can be 100 AU or even more, and that it could be other planets there that perturb the orbit of Uranus (although the position of the eventual Neptune was not calculated until much later by Urbain Le Verrier).