Введение
Внезапное изменение формы структурного элемента под нагрузкой.
[[File:B52 buckling. jpg|thumb|Поврежденные панели обшивки самолета B-52. Тонкие панели обшивки деформируются даже при небольших нагрузках. В показанном случае вес передней части фюзеляжа перед носовой стойкой шасси достаточен для возникновения деформации панелей. Деформированные панели сохраняют способность воспринимать сдвиговые усилия за счет диагонального натяжения. Критическая нагрузка Эйлера и параболическая формула Джонсона используются для определения напряжения, вызывающего потерю устойчивости колонны. Потеря устойчивости может произойти, даже если напряжения в конструкции значительно ниже предела прочности материала. Дальнейшее увеличение нагрузки может привести к значительным и трудно предсказуемым деформациям, вплоть до полной потери несущей способности элемента. Однако, если деформации, возникшие после потери устойчивости, не приводят к полному разрушению элемента, он продолжит выдерживать нагрузку, вызвавшую эту деформацию. Если деформированный элемент является частью более сложной конструкции, например, здания, любая дополнительная нагрузка на этот элемент будет перераспределена по всей конструкции. Некоторые самолеты проектируются таким образом, чтобы тонкие панели обшивки продолжали нести нагрузку даже в деформированном состоянии.
Диагональное напряжение
Из-за тонких обшивок, обычно используемых в аэрокосмической технике, обшивки могут терять устойчивость при низких уровнях нагрузки. Однако, после потери устойчивости, вместо передачи сил сдвига, они все еще способны воспринимать нагрузку за счет диагонального натяжения (DT) в нервюрах. Это приводит к нелинейному характеру нестительной способности таких элементов. Отношение действующей нагрузки к нагрузке, при которой происходит потеря устойчивости, называется коэффициентом устойчивости обшивки.
Энергетический метод
Часто очень трудно определить точную критическую нагрузку при изгибе в сложных конструкциях, используя формулу Эйлера, из-за сложности определения постоянной K. Поэтому максимальная критическая нагрузка при изгибе часто приближенно определяется на основе закона сохранения энергии и называется энергетическим методом в структурном анализе. Первый шаг этого метода – предположить форму потери устойчивости и функцию, описывающую это смещение. Эта функция должна удовлетворять наиболее важным граничным условиям, таким как смещение и поворот. Чем точнее функция смещения, тем точнее результат. Метод исходит из того, что система (колонна) является консервативной, то есть энергия не рассеивается в виде тепла, следовательно, энергия, передаваемая колонне внешними силами, запасается в ней в виде энергии деформации. В этом методе используются два уравнения (для малых деформаций) для приближенного определения энергии "деформации" (потенциальной энергии, запасенной в виде упругой деформации конструкции) и "приложенной" энергии (работы, совершаемой внешней силой над системой). где – функция смещения, а индексы и обозначают первую и вторую производные смещения.
Модели с одной степенью свободы
Используя концепцию общей потенциальной энергии, можно выделить четыре основные формы потери устойчивости, наблюдаемые в структурных моделях с одной степенью свободы. Начнем с выражения, где – энергия деформации, запасенная в структуре, – приложенная консервативная нагрузка, а – расстояние, пройденное в ее направлении. Используя аксиомы теории эластичной неустойчивости, а именно, что равновесие – это любая точка, в которой неизменна относительно координаты, измеряющей степень(и) свободы, и что эти точки стабильны только в том случае, если является локальным минимумом, а нестабильны в противном случае (например, максимум или точка перегиба). Эти четыре формы эластичной потери устойчивости – бифуркация седлового узла или предельная точка; суперкритическая или стабильная симметричная бифуркация; субкритическая или нестабильная симметричная бифуркация; и транскритическая или асимметричная бифуркация. Все, кроме первого из этих примеров, является формой бифуркации вилки. Простые модели для каждого из этих типов поведения при потере устойчивости показаны на рисунках ниже, вместе с соответствующими диаграммами бифуркации. + Модели с жесткими звеньями с одной степенью свободы (SDoF), изображающие четыре различных типа явлений потери устойчивости. Пружина в каждой модели не напряжена при предельной точке. Стабильная симметричная бифуркация thumb|Модель фермы с наклонными звеньями и горизонтальной пружиной. Нестабильная симметричная бифуркация thumb|Модель звена с вращательной пружиной. Асимметричная бифуркация thumb|Модель звена с поперечной пружиной. thumb|Модель звена с наклонной пружиной.
where is the strain energy stored in the structure, is the applied conservative load and is the distance moved by in its direction. Using the axioms of elastic instability theory, namely that equilibrium is any point where is stationary with respect to the coordinate measuring the degree(s) of freedom and that these points are only stable if is a local minimum and unstable if otherwise (e. g. maximum or a point of inflection). These four forms of elastic buckling are the saddle node bifurcation or limit point; the supercritical or stable symmetric bifurcation; the subcritical or unstable symmetric bifurcation; and the transcritical or asymmetric bifurcation. All but the first of these examples is a form of pitchfork bifurcation. Simple models for each of these types of buckling behaviour are shown in the figures below, along with the associated bifurcation diagrams. + Single degree of freedom (SDoF) rigid link models depicting four distinct types of buckling phenomena. The spring in each model is unstressed when Limit Point Stable symmetric bifurcation thumb|A tied truss model with inclined links and horizontal spring. thumb|Link model with rotational spring Unstable symmetric bifurcation Asymmetric bifurcation thumb|Link model with transverse spring thumb|Link model with inclined spring
+ Bifurcation diagrams (blue) for the above models with the energy function (red) animated at different values of load, (black). Note, the load is on the vertical axis. All graphs are in non dimensional form. thumb thumb| thumb| thumb|
+ Диаграммы бифуркации (синий) для вышеуказанных моделей с функцией энергии (красный), анимированной при различных значениях нагрузки (черный). Обратите внимание, нагрузка отложена по вертикальной оси. Все графики приведены к безразмерному виду. thumb thumb| thumb| thumb|
where is the strain energy stored in the structure, is the applied conservative load and is the distance moved by in its direction. Using the axioms of elastic instability theory, namely that equilibrium is any point where is stationary with respect to the coordinate measuring the degree(s) of freedom and that these points are only stable if is a local minimum and unstable if otherwise (e. g. maximum or a point of inflection). These four forms of elastic buckling are the saddle node bifurcation or limit point; the supercritical or stable symmetric bifurcation; the subcritical or unstable symmetric bifurcation; and the transcritical or asymmetric bifurcation. All but the first of these examples is a form of pitchfork bifurcation. Simple models for each of these types of buckling behaviour are shown in the figures below, along with the associated bifurcation diagrams. + Single degree of freedom (SDoF) rigid link models depicting four distinct types of buckling phenomena. The spring in each model is unstressed when Limit Point Stable symmetric bifurcation thumb|A tied truss model with inclined links and horizontal spring. thumb|Link model with rotational spring Unstable symmetric bifurcation Asymmetric bifurcation thumb|Link model with transverse spring thumb|Link model with inclined spring
+ Bifurcation diagrams (blue) for the above models with the energy function (red) animated at different values of load, (black). Note, the load is on the vertical axis. All graphs are in non dimensional form. thumb thumb| thumb| thumb|
Колеса велосипедов
Обычное велосипедное колесо состоит из тонкого обода, удерживаемого под высоким сжимающим напряжением за счет (приблизительно нормального) внутрь направленного усилия большого количества спиц. Его можно рассматривать как нагруженную колонну, изогнутую в окружность. Если натяжение спиц превышает безопасный уровень или часть обода подвергается определенной боковой силе, колесо самопроизвольно деформируется, принимая характерную седловидную форму (иногда называемую "тако" или "принглс"), подобно трехмерной колонне Эйлера. Если это чисто упругая деформация, обод вернется к своей первоначальной плоской форме при уменьшении натяжения спиц или приложении боковой силы с противоположной стороны.
Дороги
Расслоение – это вид разрушения дорожных покрытий, в основном бетонных, поскольку асфальт более пластичен. Солнечное тепло поглощается поверхностью дороги, вызывая её расширение и оказывая давление на соседние участки. При достаточном напряжении покрытие может внезапно приподняться и потрескаться. Проезд по расслоенному участку может быть резким и неприятным для водителей, ощущаемым как наезд на лежачий полицейский на высокой скорости.
Трубы и сосуды под давлением
Трубы и сосуды, работающие под внешним давлением, возникающим, например, при охлаждении пара внутри трубы и его конденсации в воду с последующим резким падением давления, подвержены риску выпучивания из-за окружных сжимающих напряжений. Правила проектирования для расчета необходимой толщины стенки или усиливающих обручей приведены в различных нормах и правилах для трубопроводов и сосудов под давлением.
Супер- и гиперзвуковые аэрокосмические аппараты
Аэротермический нагрев может приводить к потере устойчивости поверхностных панелей на сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратах, таких как высокоскоростные самолеты, ракеты и возвращаемые аппараты. Если потеря устойчивости вызвана аэротермическими нагрузками, ситуация может усугубляться усиленной теплопередачей в областях, где структура деформируется в направлении потока.