Введение
Точка в выпуклом корпусе множества P в Rd является выпуклой комбинацией d+1 точек в P. Теорема Каратеодори — это теорема в выпуклой геометрии. Она утверждает, что если точка лежит в выпуклом корпусе множества P, то она лежит в некотором d-мерном симплексе с вершинами в P. Эквивалентно, эту точку можно представить как выпуклую комбинацию не более чем d+1 точек в P. Дополнительно, её можно представить как выпуклую комбинацию не более чем d+1 экстремальных точек в P, поскольку неэкстремальные точки можно удалить из P, не изменяя принадлежности точки к выпуклому корпусу. Эквивалентная теорема для конических комбинаций утверждает, что если точка лежит в коническом корпусе множества P, то её можно представить как коническую комбинацию не более чем d+1 точек в P. Две другие теоремы Хелли и Радона тесно связаны с теоремой Каратеодори: последнюю теорему можно использовать для доказательства первых теорем и наоборот. Результат назван в честь Константина Каратеодори, который доказал теорему в 1911 году для случая, когда P компактно. В 1914 году Эрнст Штайниц расширил теорему Каратеодори для произвольных множеств.
Carathéodory's theorem is a theorem in convex geometry. It states that if a point lies in the convex hull of a set , then lies in some dimensional simplex with vertices in Equivalently, can be written as the convex combination of at most points in Additionally, can be written as the convex combination of at most extremal points in , as non extremal points can be removed from without changing the membership of in the convex hull. An equivalent theorem for conical combinations states that if a point lies in the conical hull of a set , then can be written as the conical combination of at most points in
Two other theorems of Helly and Radon are closely related to Carathéodory's theorem: the latter theorem can be used to prove the former theorems and vice versa. The result is named for Constantin Carathéodory, who proved the theorem in 1911 for the case when is compact. In 1914 Ernst Steinitz expanded Carathéodory's theorem for arbitrary sets.
Пример
Теорема Каратеодори в 2 измерениях утверждает, что можно построить треугольник, состоящий из точек из P, который содержит любую точку в выпуклой оболочке P.
Например, пусть P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. Выпуклая оболочка этого множества — квадрат. Пусть x = (1/4, 1/4) лежит в выпуклой оболочке P. Тогда мы можем построить множество {(0,0),(0,1),(1,0)} = ′, выпуклая оболочка которого является треугольником и содержит x.
Число Каратеодори
Для любого непустого множества определите его число Каратеодори как наименьшее целое число *k*, такое что для любого элемента *x* из этого множества существует представление *x* как выпуклая комбинация не более чем *k* элементов из этого множества. Теорема Каратеодори просто утверждает, что любое непустое подмножество пространства имеет число Каратеодори, не превышающее размерность пространства плюс один. Эта верхняя граница не обязательно достигается. Например, единичная сфера в ℝ³ имеет число Каратеодори, равное 2, поскольку любая точка внутри сферы является выпуклой комбинацией двух точек на сфере. При дополнительных предположениях о множестве, можно получить верхние границы, строго меньшие, чем размерность пространства плюс один.
Carathéodory's theorem simply states that any nonempty subset of has Carathéodory's number This upper bound is not necessarily reached. For example, the unit sphere in has Carathéodory's number equal to 2, since any point inside the sphere is the convex sum of two points on the sphere. With additional assumptions on , upper bounds strictly lower than can be obtained.
Безразмерный вариант
Недавно Адипрасито, Барани, Мустафа и Терпай доказали вариант теоремы Каратеодори, не зависящий от размерности пространства.
Красочная теорема Каратеодори
Пусть X1, …, Xd+1 – множества в Rd и пусть x – точка, содержащаяся в пересечении выпуклых оболочек всех этих d+1 множеств. Тогда существует множество T = {x1, …, xd+1}, где x1 ∈ X1, …, xd+1 ∈ Xd+1, такое что выпуклая оболочка T содержит точку x. Рассматривая множества X1, …, Xd+1 как разные цвета, множество T составлено из точек всех цветов, отсюда и слово "цветной" в названии теоремы. Множество T также называют радужным симплексом, поскольку это d-мерный симплекс, в котором каждая вершина имеет разный цвет. Эта теорема имеет вариант, в котором выпуклая оболочка заменяется конической оболочкой.