Кіріспе
P жиынының Rd-дегі дөңес қабығындағы нүкте, P-дегі d+1 нүктелердің дөңес комбинациясы болып табылады. Каратеодори теоремасы – дөңес геометриядағы теорема. Ол, егер бір нүкте жиынның дөңес қабығында жатса, онда ол кейбір өлшемді симплекстің төбелері жиында орналасқан болады деп мәлімдейді. Балама түрінде, бұл нүкте жиынның ең көп d+1 нүктесінің дөңес комбинациясы ретінде жазылуы мүмкін. Сонымен қатар, бұл нүкте жиынның ең көп экстремалды нүктесінің дөңес комбинациясы ретінде де жазылуы мүмкін, себебі экстремалды емес нүктелерді дөңес қабықтағы мүшелігін өзгертпей алып тастауға болады. Конустық комбинациялар үшін эквивалентті теорема, егер бір нүкте жиынның конустық қабығында жатса, онда оны ең көп d+1 нүктелердің конустық комбинациясы ретінде жазуға болады. Хели мен Радонның тағы екі теоремасы Каратеодори теоремасымен тығыз байланысты: аталған теореманы бұрынғы теоремаларды дәлелдеу үшін де, керісінше де қолдануға болады. Нәтиже Константин Каратеодоридің құрметіне аталған, ол 1911 жылы жиын компакт болған жағдайда теореманы дәлелдеген. 1914 жылы Эрнст Штейнц Каратеодори теоремасын кез келген жиындарға дейін кеңейтті.
Carathéodory's theorem is a theorem in convex geometry. It states that if a point lies in the convex hull of a set , then lies in some dimensional simplex with vertices in Equivalently, can be written as the convex combination of at most points in Additionally, can be written as the convex combination of at most extremal points in , as non extremal points can be removed from without changing the membership of in the convex hull. An equivalent theorem for conical combinations states that if a point lies in the conical hull of a set , then can be written as the conical combination of at most points in
Two other theorems of Helly and Radon are closely related to Carathéodory's theorem: the latter theorem can be used to prove the former theorems and vice versa. The result is named for Constantin Carathéodory, who proved the theorem in 1911 for the case when is compact. In 1914 Ernst Steinitz expanded Carathéodory's theorem for arbitrary sets.
Мысал
Каратеодоридің 2 өлшемдегі теоремасы P жиынынан алынған нүктелерден тұратын, P жиынының дөңес қабығындағы кез келген нүктені қамтитын үшбұрыш салуға болатынын айтады.
Мысалы, P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} болсын. Бұл жиынның дөңес қабығы – төртбұрыш. P-нің дөңес қабығында x = (1/4, 1/4) нүктесі болсын. Онда біз {(0,0),(0,1),(1,0)} = ′ жиынын сала аламыз, оның дөңес қабығы үшбұрыш болып келеді және x нүктесін қамтиды.
Каратеодоридің саны
Кез келген бос емес жиын үшін, оның Каратеодори санын – кез келген элементтің жиынның ішіндегі дербес нүктелердің дөңгелек комбинациясы ретінде көрсетілуі үшін қажетті ең кіші бүтін сан деп анықтаймыз. Каратеодори теоремасы кез келген бос емес жиынның Каратеодори саны бар екенін айтады. Бұл жоғарғы шек міндетті түрде қол жеткізілмейді. Мысалы, бірлік сфераның Каратеодори саны 2-ге тең, себебі сфераның ішіндегі кез келген нүкте сферадағы екі нүктенің дөңгелек комбинациясы болып табылады. Жиынға қосымша шарттар қойылған жағдайда, -дан қатаң төмен жоғарғы шектер алуға болады.
Carathéodory's theorem simply states that any nonempty subset of has Carathéodory's number This upper bound is not necessarily reached. For example, the unit sphere in has Carathéodory's number equal to 2, since any point inside the sphere is the convex sum of two points on the sphere. With additional assumptions on , upper bounds strictly lower than can be obtained.
Өлшемсіз нұсқа
Жақында Адипрасито, Барани, Мустафа және Терпай кеңістіктің өлшеміне тәуелсіз Каратеодори теоремасының бір түрін дәлелдеді.
Түсті Каратеодори теоремасы
X1, …, Xd+1 – Rd кеңістігіндегі жиындар болсын және x нүктесі осы d+1 жиындардың дөңгелек қабықтарының қиылысында жатсын. Онда T = {x1, …, xd+1} жиыны бар, мұнда x1 ∈ X1, …, xd+1 ∈ Xd+1, және T жиынының дөңгелек қабығы x нүктесін қамтиды. X1, …, Xd+1 жиындарын әртүрлі түстер ретінде қарастырғанда, T жиыны барлық түстердің нүктелерінен құралады, сондықтан теорема атауындағы «түсті» деген сөз қолданылады. T жиыны сондай-ақ «радугалық симплекс» деп аталады, себебі ол әр төбесі әртүрлі түске ие d өлшемді симплекс болып табылады. Бұл теореманың нұсқасы да бар, онда дөңгелек қабық конустық қабыққа алмастырылады.