Введение

Формулы для определения относительной силы вооруженных сил

Законы Ланчестера — это математические формулы для расчета относительной силы военных сил. Уравнения Ланчестера — дифференциальные уравнения, описывающие временную зависимость численности двух армий A и B как функцию времени, причем эта функция зависит только от A и B. В 1915 и 1916 годах, во время Первой мировой войны, М. Осипов и Фредерик Ланчестер независимо друг от друга разработали ряд дифференциальных уравнений, чтобы продемонстрировать соотношение сил между противоборствующими сторонами. Среди них — линейный закон Ланчестера (для древних сражений) и квадратичный закон Ланчестера (для современных сражений с использованием оружия дальнего действия, такого как огнестрельное). По состоянию на 2017 год модифицированные варианты уравнений Ланчестера продолжают служить основой для анализа во многих боевых симуляциях армии США, а в 2016 году в отчете RAND Corporation эти законы были использованы для оценки вероятного исхода в случае российского вторжения в страны Балтии — Эстонию, Латвию и Литву.

Линейный закон Ланчестера

В древнем бою, например, между фалангами солдат с копьями, каждый солдат мог сражаться одновременно только с одним противником. Если каждый солдат убивает и погибает от руки одного другого солдата, то количество оставшихся в конце битвы солдат будет просто разницей между численностью большей и меньшей армий, при условии одинакового вооружения. Линейный закон применим и к беспорядочному огню по территории, занятой противником. Скорость потерь зависит от плотности целей в зоне поражения, а также от количества применяемого оружия. Если две силы, занимающие одну и ту же территорию и использующие одинаковое оружие, ведут беспорядочный огонь по одной и той же зоне, обе понесут одинаковые потери по темпам и численности, пока меньшая сила не будет полностью уничтожена: более высокая вероятность попадания в большую силу компенсируется большим количеством выстрелов, направленных по меньшей силе.

Закон квадрата Ланчестера

Закон Ланчестера также известен как закон N в квадрате.

Описание

Огнестрельное оружие, ведущее непосредственный огонь друг по другу на расстоянии с прицельной стрельбой, может атаковать несколько целей и подвергаться обстрелу с разных направлений. Скорость потерь теперь зависит исключительно от количества огневых средств. Ланчестер установил, что боеспособность такой силы пропорциональна не числу её единиц, а квадрату этого числа. Это известно как закон квадрата Ланчестера. Более точно, закон определяет потери, которые нанесет стреляющая сторона за определенный период времени, по отношению к потерям, нанесенным противником. В своей базовой форме закон полезен лишь для прогнозирования исходов и потерь в результате истощения. Он неприменим к целым армиям, где тактическое развертывание означает, что не все войска участвуют в бою постоянно. Он работает только в тех случаях, когда каждая единица (солдат, корабль и т.д.) может уничтожить только одну эквивалентную единицу за раз. По этой причине закон не применим к пулеметам, артиллерии с не управляемыми снарядами или ядерному оружию. Закон предполагает, что потери накапливаются со временем: он не работает в ситуациях, когда противоборствующие войска уничтожают друг друга мгновенно, либо одновременно открывая огонь, либо когда одна сторона наносит множественные потери первым выстрелом. Важно отметить, что закон квадрата Ланчестера применим только к численному превосходству, но не к технологическому; следовательно, для компенсации N-кратного уменьшения количества необходимо N-кратное увеличение качества в квадрате.

Отношение к модели боевого залпа

Уравнения Ланчестера связаны с более поздними уравнениями модели залпового боя, двумя основными различиями. Во-первых, оригинальные уравнения Ланчестера представляют собой модель непрерывного времени, в то время как базовые уравнения залпового боя – модель дискретного времени. В огнестрельном бою обычно ведется огонь большим количеством пуль или снарядов. Каждый снаряд имеет относительно небольшую вероятность поражения цели и наносит относительно небольшой урон. Поэтому уравнения Ланчестера моделируют огонь как непрерывный поток огневой мощи, который постепенно ослабляет силы противника с течением времени. В отличие от этого, крылатые ракеты обычно запускаются относительно небольшими партиями. Каждая ракета имеет высокую вероятность поражения цели и несет относительно мощную боевую часть. Следовательно, более логично моделировать их как дискретный импульс (или залп) огневой мощи в дискретной модели времени. Во-вторых, уравнения Ланчестера учитывают только наступательную огневую мощь, тогда как уравнения залпового боя также учитывают оборонительную огневую мощь. Учитывая их малый размер и большое количество, перехват пуль и снарядов в огнестрельном бою непрактичен. В отличие от этого, крылатые ракеты могут быть перехвачены (сбиты) ракетами класса "земля-воздух" и зенитными орудиями. Поэтому важно учитывать такие средства активной обороны в модели ракетного боя.

Закон Ланчестера в использовании

Законы Ланчестера использовались для моделирования исторических сражений в исследовательских целях. Примерами служат атака Пикетта конфедеративной пехоты на пехоту Союза во время битвы при Геттисберге в 1863 году, Битва за Британию в 1940 году между британскими и немецкими военно-воздушными силами, и Курская битва. В современной войне, учитывая, что в определенной степени применимы как линейная, так и квадратичная зависимости, часто используется показатель степени 1,5. Предпринимались попытки применить законы Ланчестера к конфликтам между группами животных, например, в экспериментах с шимпанзе и муравьями. Применение к шимпанзе оказалось относительно успешным. Исследование австралийских мясных муравьев и аргентинских муравьев подтвердило квадратичный закон, в то время как исследование огненных муравьев его не подтвердило.

Параметры рулевого щита

Параметры Гельмбольда предоставляют быстрые, лаконичные и точные числовые индексы, основанные на исторических данных, для сравнения сражений по степени их ожесточенности и преимуществу, которым обладала та или иная сторона. Хотя их определение смоделировано на основе решения дифференциальных уравнений закона Ланчестера, их числовые значения основаны исключительно на начальной и конечной численности противников и никак не зависят от справедливости закона Ланчестера как модели потерь в ходе сражения. Решение закона Ланчестера, используемое здесь, можно записать следующим образом: где – время, прошедшее с начала сражения, и – доли сохранившихся сил атакующего и защищающегося в момент времени , – параметр интенсивности Гельмбольда, – параметр преимущества защитника Гельмбольда, – продолжительность сражения, а – параметр ожесточенности Гельмбольда. Если начальная и конечная численность обеих сторон известны, то можно определить параметры , , , и . Если также известна продолжительность сражения , то можно определить . Если, как это обычно бывает, достаточно мало, чтобы гиперболические функции можно было без существенной погрешности заменить их разложением в ряд до членов первой степени , и если мы введем следующие обозначения для доли потерь, то справедливы следующие приближенные соотношения: Тот факт, что является своего рода "средним" (в частности, геометрическим средним) доли потерь, оправдывает использование его в качестве индекса ожесточенности сражения. Отмечаем, что для статистических расчетов целесообразнее использовать натуральные логарифмы параметров Гельмбольда. Обозначим их, в очевидном соответствии, , , и .