Введение

Алгебраическая концепция в теории меры, также называемая алгеброй множеств.

В математике, поле множеств — это математическая структура, состоящая из пары, включающей множество и семейство его подмножеств, называемое алгеброй над этим множеством, которое содержит пустое множество в качестве элемента и замкнуто относительно операций взятия дополнений, конечных объединений и конечных пересечений. Поля множеств не следует путать с полями в теории колец или с полями в физике. Аналогично, термин "алгебра над" используется в значении булевой алгебры и не следует путать с алгебрами над полями или кольцами в теории колец. Поля множеств играют существенную роль в теории представлений булевых алгебр. Любая булева алгебра может быть представлена как поле множеств.

Представление камня

Для произвольного множества его множество степеней (или, несколько педантично, пара этого множества и его множества степеней) является полем множеств. Если конечно (например, элемент), то конечно (например, элемент). Похоже, что каждое конечное поле множеств (то есть, с конечным, в то время как может быть бесконечным) допускает представление вида с конечным ; это означает функцию, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между и через прообраз: где и (то есть, ). Одно из замечательных следствий: число комплексов, если оно конечно, всегда имеет вид .

Для этого выбирают в качестве множества всех атомов данного поля множеств и определяют для любой точки и комплекса , который является атомом; последнее означает, что непустое подмножество, отличное от , не может быть комплексом. Иными словами: атомы образуют разбиение ; является соответствующим фактормножеством; а – соответствующим каноническим сюръективным отображением. Аналогично, каждая конечная булева алгебра может быть представлена как множество степеней – множество степеней её множества атомов; каждому элементу булевой алгебры соответствует множество атомов, находящихся ниже него (объединение которых даёт этот элемент). Такое представление множеством степеней может быть построено в более общем виде для любой полной атомной булевой алгебры. В случае булевых алгебр, которые не являются полными и атомными, мы всё ещё можем обобщить представление множеством степеней, рассматривая поля множеств вместо полных множеств степеней. Для этого мы сначала отмечаем, что атомы конечной булевой алгебры соответствуют её ультрафильтрам и что атом находится ниже элемента конечной булевой алгебры тогда и только тогда, когда этот элемент содержится в ультрафильтре, соответствующем этому атому. Это приводит нас к построению представления булевой алгебры, беря её множество ультрафильтров и формируя комплексы, связывая с каждым элементом булевой алгебры множество ультрафильтров, содержащих этот элемент. Эта конструкция действительно даёт представление булевой алгебры как поля множеств и известна как представление Стоуна. Оно является основой теоремы представления Стоуна для булевых алгебр и примером процедуры дополнения в теории порядка, основанной на идеалах или фильтрах, подобной разрезам Дедекинда. Альтернативно можно рассмотреть множество гомоморфизмов на двухэлементную булеву алгебру и формировать комплексы, связывая каждый элемент булевой алгебры с множеством таких гомоморфизмов, которые отображают его в верхний элемент. (Этот подход эквивалентен, поскольку ультрафильтры булевой алгебры являются точно прообразами верхних элементов под этими гомоморфизмами.) При таком подходе видно, что представление Стоуна также можно рассматривать как обобщение представления конечных булевых алгебр таблицами истинности.

Сигма-алгебры и пространства измерений

Если алгебра над множеством замкнута относительно счетных объединений (следовательно, и относительно счетных пересечений), она называется сигма-алгеброй, а соответствующее поле множеств – измеримым пространством. Комплексы измеримого пространства называются измеримыми множествами. Теорема Лумиса-Сикорского устанавливает двойственность типа Стоуна между счетно полными булевыми алгебрами (которые можно называть абстрактными сигма-алгебрами) и измеримыми пространствами. Измеримое пространство – это тройка, где – измеримое пространство, а – мера, определенная на нем. Если является вероятностной мерой, мы говорим о вероятностном пространстве и называем его базовое измеримое пространство пространством элементарных событий. Точки пространства элементарных событий называются элементарными событиями и представляют собой возможные исходы, в то время как измеримые множества (комплексы) называются событиями и представляют собой свойства исходов, которым мы хотим присвоить вероятности. (Многие используют термин "пространство элементарных событий" просто для базового множества вероятностного пространства, особенно в случае, когда любое подмножество является событием.) Измеримые пространства и вероятностные пространства играют основополагающую роль в теории меры и теории вероятностей соответственно. В приложениях к физике мы часто имеем дело с измеримыми и вероятностными пространствами, полученными из богатых математических структур, таких как пространства с внутренним произведением или топологические группы, которые уже обладают связанной с ними топологией – это не следует путать с топологией, порожденной произвольными объединениями комплексов.

Топологические поля множеств

Топологическое поле множеств – это тройка, где X – топологическое пространство, а 𝒦 – поле множеств, замкнутое относительно операции замыкания на X или, эквивалентно, относительно операции взятия внутреннего множества, то есть замыкание и внутреннее множество каждого комплекса также являются комплексами. Иными словами, 𝒦 образует подальгебру алгебры внутренних множеств на X. Топологические поля множеств играют фундаментальную роль в теории представлений внутренних алгебр и алгебр Хейтинга. Эти два класса алгебраических структур предоставляют алгебраическую семантику для модальной логики S4 (формальной математической абстракции эпистемической логики) и интуиционистской логики соответственно. Топологические поля множеств, представляющие эти алгебраические структуры, обеспечивают соответствующую топологическую семантику для этих логик. Каждая внутренняя алгебра может быть представлена как топологическое поле множеств, где базовая булева алгебра внутренней алгебры соответствует комплексам топологического поля множеств, а операции замыкания и взятия внутреннего множества внутренней алгебры – соответствующим операциям топологии. Каждая алгебра Хейтинга может быть представлена топологическим полем множеств, где базовая решетка алгебры Хейтинга соответствует решетке комплексов топологического поля множеств, открытых в данной топологии. Более того, топологическое поле множеств, представляющее алгебру Хейтинга, можно выбрать таким образом, чтобы открытые комплексы порождали все комплексы как булеву алгебру. Эти связанные представления предоставляют четко определенный математический аппарат для изучения взаимосвязи между модальностями истины (возможно истинное vs. необходимо истинное, изучаемыми в модальной логике) и понятиями доказуемости и опровержимости (изучаемыми в интуиционистской логике) и, таким образом, тесно связаны с теорией модальных компаньонов промежуточных логик. Для заданного топологического пространства полуоткрытые множества тривиально образуют топологическое поле множеств, поскольку каждое полуоткрытое множество является своим собственным внутренним множеством и замыканием. Каменное представление булевой алгебры можно рассматривать как такое топологическое поле множеств, однако в общем случае топология топологического поля множеств может отличаться от топологии, порожденной произвольными объединениями комплексов, и в общем случае комплексы топологического поля множеств не обязаны быть открытыми или замкнутыми в данной топологии.

Алгебраические поля множеств и камни

Топологическое поле множеств называется алгебраическим тогда и только тогда, когда для его топологии существует база, состоящая из комплексов. Если топологическое поле множеств компактно и алгебраично, то его топология компактна, а его компактные открытые множества – это ровно открытые комплексы. Более того, открытые комплексы образуют базу для топологии. Топологические поля множеств, являющиеся сепаративными, компактными и алгебраическими, называются полями Стоуна и предоставляют обобщение стоуновского представления булевых алгебр. Для данной внутренней алгебры можно построить стоуновское представление ее базовой булевой алгебры, а затем расширить его до топологического поля множеств, взяв топологию, порожденную комплексами, соответствующими открытым элементам внутренней алгебры (которые образуют базу для топологии). Эти комплексы тогда и будут открытыми комплексами, и данная конструкция создает поле Стоуна, представляющее внутреннюю алгебру – стоуновское представление. (Топология стоуновского представления также известна как топология Маккинси — Тарского Стоуна, названная в честь математиков, которые впервые обобщили результат Стоуна для булевых алгебр на внутренние алгебры, и ее не следует путать с топологией Стоуна базовой булевой алгебры внутренней алгебры, которая будет более тонкой топологией).

Алгебраические и канонические поля предварительного порядка

Поле предреда называется алгебраическим (или тесным), если и только если оно имеет множество комплексов, которые определяют предреда следующим образом: если и только если для каждого комплекса , подразумевает . Поля предреда, полученные из теорий S4, всегда алгебраические, при этом комплексы, определяющие предреда, являются множествами возможных миров, в которых предложения теории, замкнутые относительно необходимости, истинны. Сепаративное компактное алгебраическое поле предреда называется каноническим. Для данной внутренней алгебры, заменяя топологию ее стоуновского представления соответствующим каноническим предредом (порядком специализации), мы получаем представление внутренней алгебры как канонического поля предреда. Заменяя предреда соответствующей топологией Александрова, мы получаем альтернативное представление внутренней алгебры как топологического поля множеств. (Топология этого "александровского представления" является просто бикоррефлексией Александрова топологии стоуновского представления.) Хотя представление модальных алгебр общими модальными рамками возможно для любой нормальной модальной алгебры, только в случае внутренних алгебр (которые соответствуют модальной логике S4) общая модальная рамка соответствует топологическому полю множеств именно таким образом.