Введение

Математический метод оптимизации компоновки материала при заданных условиях

Топологическая оптимизация – это математический метод, который оптимизирует компоновку материала в заданном пространстве проектирования для заданного набора нагрузок, граничных условий и ограничений с целью максимизации эффективности системы. Топологическая оптимизация отличается от оптимизации формы и размеров тем, что конструкция может принимать любую форму в пространстве проектирования, а не ограничиваться предопределенными конфигурациями. В традиционной топологической оптимизации для оценки характеристик конструкции используется метод конечных элементов (МКЭ). Оптимизация конструкции выполняется с использованием либо методов математического программирования на основе градиента, таких как алгоритм критерия оптимальности и метод перемещающихся асимптот, либо методов, не основанных на градиенте, таких как генетические алгоритмы. Топологическая оптимизация находит широкое применение в аэрокосмической, машиностроительной, биохимической и гражданском строительстве. В настоящее время инженеры в основном используют топологическую оптимизацию на концептуальном этапе проектирования. Из-за возникающих свободных форм результат часто сложно изготовить. Поэтому результат, полученный в результате топологической оптимизации, часто дорабатывается с учетом технологичности. Добавление ограничений к формулировке для повышения технологичности является активной областью исследований. В некоторых случаях результаты топологической оптимизации могут быть непосредственно изготовлены с использованием аддитивных технологий; таким образом, топологическая оптимизация является ключевым элементом проектирования для аддитивного производства.

Методология осуществления

Существуют различные методологии, применяемые для решения задач оптимизации топологии.

Решение с дискретными/бинарными переменными

Решение задач оптимизации топологии в дискретном понимании выполняется путем разбиения расчетной области на конечные элементы. Плотности материала внутри этих элементов рассматриваются как переменные задачи. В этом случае плотность материала, равная единице, указывает на наличие материала, а нулевое значение – на его отсутствие. Поскольку достижимая топологическая сложность конструкции зависит от числа элементов, предпочтительно использовать их большое количество. Большое число конечных элементов повышает достижимую топологическую сложность, но требует определенных затрат. Во-первых, решение системы конечных элементов становится более вычислительно сложным. Во-вторых, алгоритмы, способные обрабатывать большое количество (несколько тысяч элементов – обычная практика) дискретных переменных при наличии множественных ограничений, либо отсутствуют, либо чрезвычайно чувствительны к изменениям параметров. В литературе встречаются примеры решения задач с количеством переменных до 30000.

Решение задачи с непрерывными переменными

Ранее упомянутые сложности при решении задач оптимизации топологии с использованием бинарных переменных побудили сообщество искать альтернативные подходы. Один из них – моделирование плотности с помощью непрерывных переменных. Плотность материала теперь может принимать значения в диапазоне от нуля до единицы. Существуют градиентные алгоритмы, способные обрабатывать большое количество непрерывных переменных и множество ограничений. Однако свойства материала необходимо моделировать в непрерывной среде, что достигается посредством интерполяции. Одной из наиболее часто используемых методик интерполяции является метод твердого изотропного материала с применением штрафной функции (SIMP). Эта интерполяция по сути представляет собой степенной закон, интерполирующий модуль Юнга материала к скалярному полю выбора. Значение штрафного параметра обычно выбирается в диапазоне от … до … . Это позволяет подтвердить микроструктуру материалов. В методе SIMP добавляется нижняя граница для модуля Юнга, , чтобы обеспечить ненулевые производные целевой функции при плотности, стремящейся к нулю. Чем выше штрафной фактор, тем сильнее SIMP наказывает алгоритм за использование небинарных плотностей. К сожалению, параметр штрафа также вносит невыпуклости.

Коммерческое программное обеспечение

На рынке представлено несколько коммерческих программных пакетов для топологической оптимизации. Большинство из них используют результаты топологической оптимизации как ориентир для оптимальной формы, требуя последующей ручной доработки геометрии. Лишь немногие решения позволяют получить оптимальные конструкции, сразу пригодные для аддитивного производства.

Взаимодействие структуры жидкости

Взаимодействие жидкости и структуры – это сильносвязанное явление, описывающее взаимодействие между стационарной или движущейся жидкостью и упругой структурой. Многие инженерные приложения и природные процессы подвержены влиянию взаимодействия жидкости и структуры, поэтому учет этих эффектов критически важен при проектировании различных инженерных систем. Оптимизация топологии для задач взаимодействия жидкости и структуры изучалась, например, в работах [ссылки]. Ниже представлены проектные решения, полученные для различных чисел Рейнольдса. Эти решения зависят от течения жидкости, что указывает на то, что связь между жидкостью и структурой корректно учтена в задачах проектирования. [[Файл:Эволюция дизайна при взаимодействии жидкости и структуры.gif|thumb|Эволюция дизайна для задачи взаимодействия жидкости и структуры из [ссылка]. Путем пространственного распределения двух термоэлектрических материалов в двумерном пространстве с использованием методологии оптимизации топологии можно добиться производительности, превышающей производительность традиционных термоэлектрических материалов для термоэлектрических охладителей и генераторов.

Форма 3F3D использует Force 3D принтер

Нынешнее распространение технологии 3D-печати позволило дизайнерам и инженерам использовать методы топологической оптимизации при разработке новых продуктов. Топологическая оптимизация в сочетании с 3D-печатью может привести к снижению веса, повышению прочности конструкции и сокращению цикла от проектирования до производства. Это связано с тем, что такие конструкции, хотя и эффективны, могут быть нереализуемы с использованием более традиционных методов производства.

Внутренние контакты

Внутренний контакт может быть учтен в топологической оптимизации с помощью метода третьего типа контакта (third medium contact). Метод третьего типа контакта (TMC) – это неявная формулировка контакта, которая является непрерывной и дифференцируемой. Это делает TMC подходящим для использования с градиентными методами топологической оптимизации. Изображение: Разработка и деформация самозацепляющихся крюков, полученные в результате топологической оптимизации контактной задачи с использованием метода TMC.