Введение

Семья бесконечных дискретных групп
В математической области теории групп, группы Артина, также известные как группы Артина–Тица или обобщённые группы кос, являются семейством бесконечных дискретных групп, заданных простыми представлениями. Они тесно связаны с группами Коксетера. Примерами служат свободные группы, свободные абелевы группы, группы кос и прямоугольные группы Артина–Тица, среди прочих. Группы названы в честь Эмиля Артина, благодаря его ранним работам над группами кос в 1920-1940-х годах, и Жака Тица, который разработал теорию более общего класса групп в 1960-х годах.

Определение

Представление Артина — Титса — это представление группы, где S — (обычно конечный) набор образующих, а R — набор отношений Артина — Титса, то есть отношений вида для различных элементов s, t из S, где обе стороны имеют одинаковую длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих. Группа Артина — Титса — это группа, допускающая представление Артина — Титса. Аналогично, моноид Артина — Титса — это моноид, который, как моноид, допускает представление Артина — Титса. Альтернативно, группу Артина — Титса можно задать набором образующих S и, для каждого s из S, натуральным числом m, являющимся длиной слов s и t таких, что s = t = m является отношением, связывающим s и t, если оно существует. По соглашению, полагают m = ∞, когда отношения s = t не существует. Формально, если мы определяем s^m t^m как чередующееся произведение s и t длины m, начинающееся с s — так что s^1 t^1, s^2 t^2 и т.д. — отношения Артина — Титса принимают форму

Целые числа m можно организовать в симметричную матрицу, известную как матрица Коксетера группы. Если представление Артина — Титса группы G, то факторгруппа, полученная добавлением отношения s^m t^m = 1 для каждого s, t из S, является группой Коксетера. И наоборот, если G — группа Коксетера, заданная отражениями, и отношения s^m t^m = 1 удалены, то расширение, полученное таким образом, является группой Артина — Титса. Например, группа Коксетера, связанная с группой кос с n нитями, является симметрической группой всех перестановок n элементов.

Примеры

Это свободная группа, порожденная ; здесь для всех — свободная абелева группа, порожденная ; здесь для всех — группа кос на нитях; здесь для , и для .

Особые классы групп ArtinTits

Несколько важных классов групп Артина можно определить на основе свойств матрицы Коксетера.

Группы артина прямоугольные

Группа Артина — Титс считается прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Коксетера равны 1 или -1, то есть все отношения являются отношениями коммутации. Также распространены названия (свободной) частично коммутативной группы, графовой группы, трассировочной группы, полусвободной группы или даже локально свободной группы. Для этого класса групп Артина — Титс обычно используется другая схема обозначений. Любой граф на n вершинах, обозначенный Γ, определяет матрицу M, для которой m<sub>ij</sub> = 1, если вершины i и j соединены ребром в Γ, и m<sub>ij</sub> = -1 иначе. Класс прямоугольных групп Артина — Титс включает в себя свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно порожденные свободные абелевы группы, соответствующие полному графу. Каждая прямоугольная группа Артина ранга r может быть построена как HNN-расширение прямоугольной группы Артина ранга r-1, при этом свободный продукт и прямой продукт являются крайними случаями. Обобщение этой конструкции называется графическим произведением групп. Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, при котором каждая вершина/операнд произведения графа является свободной группой ранга один (бесконечная циклическая группа). Проблемы слова и сопряженности прямоугольной группы Артина — Титс разрешимы, первая — за линейное время, группа не содержит торсии, и существует явное клеточное разбиение конечного типа (Джон Крисп, Эдди Годелль и Берт Вист). Каждая прямоугольная группа Артина — Титс действует свободно и кокомпактно на конечномерный CAT(0)-кубический комплекс, называемый её "комплексом Сальветти". В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди), см. также (Иан Лири).

Артин Титс группы большого типа

Группа Артина — Титса (и группа Коксетера) называется группой большого типа, если для всех образующих ; она называется группой экстра большого типа, если для всех образующих. Группы Артина — Титса экстра большого типа применимы к теории малых отмен. Как следствие, группы Артина — Титса экстра большого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряженности (Кеннет Аппел и Пол Шупп). Группы Артина — Титса экстра большого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пейфер). Артинские группы большого типа являются коротколексическими автоматическими с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис).

Другие виды

Было выявлено и исследовано множество других семейств групп Артина — Титс. Здесь мы упомянем о двух из них. Группа Артина — Титс называется группой типа FC (от "флаг-комплекс"), если для каждого подмножества, такого что для всех в , группа имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на CAT(0)-кубическом комплексе и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы о слове (Джо Альтобелли и Чарни). Альтернативная нормальная форма предоставляется многофракционным сокращением, которое дает единственное выражение в виде нередуцируемой многофракции, непосредственно расширяющее выражение в виде нередуцируемой фракции в сферическом случае (Дехорнуа). Группа Артина — Титс называется аффинной, если ассоциированная группа Коксетера является аффинной. Они соответствуют расширенным диаграммам Динкина четырех бесконечных семейств для , , и для , и пяти спорадических типов , , , и . Аффинные группы Артина — Титс имеют евклидов тип: ассоциированная группа Коксетера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а проблема о слове разрешима (Джон МакКаммонд и Роберт Салвей). В 2019 году было объявлено доказательство гипотезы для всех аффинных групп Артина — Титс (Марио Сальветти и Джованни Паолини).