Кіріспе

Шексіз дискретті топтар отбасы
Топтар теориясының математикалық саласында Артен топтары, сондай-ақ Артен–Титс топтары немесе жалпыланған өрім топтары, қарапайым ұсыныстар арқылы анықталатын шексіз дискретті топтардың отбасы болып табылады. Олар Коксетер топтарымен тығыз байланысты. Мысалдарға еркін топтар, еркін абелдік топтар, өрім топтары және басқаларының арасында тік бұрышты Артен–Титс топтары жатады. Бұл топтар Эмиль Артеннің 1920-1940 жылдардағы өрім топтары бойынша жасаған алғашқы жұмыстары мен Жак Титстің 1960 жылдары топтардың жалпы класының теориясын дамытқандығына байланысты олардың есімдерімен аталады.

Анықтама

Artin–Tits презентациясы – генераторлардың (көбінесе шекті) жиынтығы және Artin–Tits қатынастарының жиынтығы бар топтық презентация, атап айтқанда, екі жағының ұзындығы тең болатын және әрбір ерекше генераторлар жұбы үшін ең көп дегенде бір қатынас болатын қатынастар. Artin–Tits тобы – Artin–Tits презентациясын қабылдайтын топ. Сол сияқты, Artin–Tits моноиды – моноид ретінде Artin–Tits презентациясын қабылдайтын моноид. Artin–Tits тобын генераторлар жиыны және әрбір генератор үшін сөздердің ұзындығы және оларды байланыстыратын қатынас (бар болса) сипаттайтын табиғи сан арқылы да анықтауға болады. Егер қатынас болмаса, оны 0 деп белгілейміз. Формальды түрде, егер біз ұзындығы *n* болатын *a* және *b* элементтерінің ауыспалы көбейтіндісін, *a* элементінен басталатынын (*abab…*) белгілеу үшін анықтасақ, онда Artin–Tits қатынастары келесі түрде жазылады.

Бүтін сандарды топтың Коксетер матрицасы деп аталатын симметриялық матрицаға жинақтауға болады. Егер *G* тобының Artin–Tits презентациясы болса, онда әрбір қатынасты қосу арқылы алынған *G* тобының фактор-тобы Коксетер тобы болады. Керісінше, егер Коксетер тобы бейнелеулер арқылы берілсе және қатынастар алынып тасталса, осылайша алынған кеңейтім Artin–Tits тобы болады. Мысалы, *n* талшықты тоқу тобына сәйкес Коксетер тобы – *n* элементінің барлық өзгерістерінің симметриялық тобы.

Мысалдар

Бұл - бос жиынға негіделген еркін топ; мұнда - бос жиынға негіделген еркін абель тобы; мұнда - бау тобы, жіпшелерде; мұнда , және .

Артист топтарының ерекше кластары

Коксетер матрицасының қасиеттері арқылы Артин топтарының бірнеше маңызды кластарын анықтауға болады.

Тура бұрышты артин топтары

Артин–Титс тобының Коксетер матрицасының барлық коэффициенттері немесе 1-ге тең болса, яғни барлық қатынастар коммутациялық қатынастар болса, онда ол тік бұрышты деп аталады. (еркін) ішінара коммутативтік топ, графтық топ, із топ, жартылай еркін топ немесе тіпті жергілікті еркін топтар да жиі кездеседі. Осы Артин–Титс топтарының класы үшін әдетте басқа белгілеу схемасы қолданылады. Белгіленген төбелері бар кез келген граф матрицаны анықтайды, егер графтың екі төбесі қабырғамен байланысқан болса, онда матрицаның тиісті жасушасы 1-ге тең болады, әйтпесе 0-ге тең болады. Тік бұрышты Артин–Титс топтарының класына шекті рангі бар еркін топтар кіреді, бұл қабырғалары жоқ графқа сәйкес келеді, және шекті түрде жасалған еркін абелдік топтар, бұл толық графқа сәйкес келеді. Кез келген r рангідегі тік бұрышты Артин тобын еркін көбейтінді мен тікелей көбейтіндіні шекті жағдайлар ретінде пайдаланып, r-1 рангідегі тік бұрышты Артин тобының HNN кеңейтуі ретінде құруға болады. Бұл құрылыстың жалпылануы топтардың графтық көбейтіндісі деп аталады. Тік бұрышты Артин тобы – бұл осы көбейтіндінің ерекше жағдайы, графтық көбейтіндінің әрбір төбесі/операнды бірінші рангідегі еркін топ (шексиз циклдік топ) болып табылады. Тік бұрышты Артин–Титс тобының сөз және конъюгация мәселелері шешіледі, біріншісі сызықтық уақытта, топ бұрмасыз және нақты жасушалық шекті (Джон Крисп, Эдди Годелл және Берт Вист). Кез келген тік бұрышты Артин–Титс тобы шекті өлшемді CAT(0) куб кешенінде, оның "Сальветти кешенінде" еркін және кокомпактты түрде әрекет етеді. Қолданба ретінде, берілген шектілік қасиеттері бар топтарды құру үшін тік бұрышты Артин топтарын және олардың Сальветти кешендерін пайдалануға болады (Младен Бествина және Ноэль Брейди), сондай-ақ (Иан Лириді де қараңыз).

Үлкен типтегі артинциттер тобы

Артин–Титс тобы (және Коксетер тобы) егер барлық генераторлар үшін деп айтылады, ол үлкен типте болады; егер барлық генераторлар үшін , онда Артин–Титс тобы аса үлкен типте болады. Аса үлкен типтегі Артин–Титс топтары кіші жою теориясы үшін жарамды. Қолданыс ретінде, аса үлкен типтегі Артин–Титс топтары бұрылыссыз және конъюгация мәселесі шешіледі (Кеннет Аппел және Пол Шупп). Аса үлкен типтегі Артин–Титс топтары екі автоматты (Дэвид Пейфер). Үлкен типтегі Артин топтары тұрақты геодезиясы бар қысқа автоматты (Дерек Холт және Сара Риз).

Басқа түрлері

Артин-Тит тобының көптеген басқа отбасылары анықталды және зерттелді. Мұнда олардың екеуін атап өтейік. Артин-Титс тобы, егер оның кез келген кіші жиыны үшін , мұндағы барлық элементтер үшін топ сфералық типте болса, онда "FC типті" ("флаг-комплекс") деп аталады. Мұндай топтар CAT(0) кубикалық кешенінде кокомпактты әрекет етеді, соның салдарынан олардың элементтері үшін рационалды қалыпты түр табуға және сөз мәселесін шешуге болады (Джо Альтобелли және Чарни). Альтернативті қалыпты түрді көпбөлшектік қысқарту ұсынады, ол сфералық жағдайда бөлшек арқылы берілген өрнекті тікелей кеңейтетін бөлшектелмейтін көпбөлшек арқылы бірегей өрнек береді (Дехорнуа). Артин-Титс тобы, егер байланысты Коксетер тобы аффин болса, онда аффин типті деп аталады. Олар төрт шексіз отбасының кеңейтілген Динкин диаграммаларына сәйкес келеді: , , және , және бес спорадикалық типтерге: , , , және . Аффин Артин-Титс топтары Евклид типте: байланысты Коксетер тобы Евклид кеңістігінде геометриялық түрде әрекет етеді. Соның салдарынан олардың центрі тривиальды, ал сөз мәселесі шешіледі (Джон МакКаммонд және Роберт Салвей). 2019 жылы барлық аффин Артин-Титс топтары үшін болжамның дәлелі жарияланды (Марио Сальветти және Джованни Паолини).