Введение
Теорема в математике
В математике теорема о сечении проекции, центральная теорема сечения или теорема сечения Фурье в двух измерениях утверждает, что результаты следующих двух вычислений равны: возьмите двухмерную функцию f(r), спроецируйте (например, используя преобразование Радона) её на (одномерную) линию и выполните преобразование Фурье этой проекции. Возьмите ту же функцию, но сначала выполните двумерное преобразование Фурье, а затем извлеките центральный срез через начало координат, параллельный линии проекции. С точки зрения операторов, если F1 и F2 – операторы одномерного и двумерного преобразования Фурье соответственно, P1 – оператор проекции (проецирующий 2D-функцию на 1D-линию), S1 – оператор сечения (выделяющий 1D-центральный срез из функции), то
Take a two dimensional function f(r), project (e. g. using the Radon transform) it onto a (one dimensional) line, and do a Fourier transform of that projection. Take that same function, but do a two dimensional Fourier transform first, and then slice it through its origin, which is parallel to the projection line. In operator terms, if
F1 and F2 are the 1 and 2 dimensional Fourier transform operators mentioned above,
P1 is the projection operator (which projects a 2 D function onto a 1 D line),
S1 is a slice operator (which extracts a 1 D central slice from a function),
then
Эта идея может быть расширена на более высокие измерения. Эта теорема используется, например, при анализе медицинских компьютерных томограмм, где "проекция" представляет собой рентгеновское изображение внутреннего органа. Преобразования Фурье этих изображений являются сечениями через преобразование Фурье трехмерной плотности внутреннего органа, и эти сечения могут быть интерполированы для построения полного преобразования Фурье этой плотности. Затем обратное преобразование Фурье используется для восстановления трехмерной плотности объекта. Этот метод был впервые разработан Рональдом Н. Брейсвеллом в 1956 году для решения задачи радиоастрономии.
CT scans where a "projection" is an x ray
image of an internal organ. The Fourier transforms of these images are
seen to be slices through the Fourier transform of the 3 dimensional
density of the internal organ, and these slices can be interpolated to build
up a complete Fourier transform of that density. The inverse Fourier transform
is then used to recover the 3 dimensional density of the object. This technique was first derived by Ronald N. Bracewell in 1956 for a radio astronomy problem.
Обобщенная теорема Фурье-резка
В дополнение к обобщению на N измерений, теорема о сечениях проекций может быть дополнительно обобщена с помощью произвольного изменения базиса. Для удобства обозначений, будем считать, что изменение базиса представлено матрицей B размера N на N, являющейся обратимой и действующей на N-мерные векторы-столбцы. Тогда обобщенная теорема о сечениях Фурье может быть сформулирована как
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
,
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
где – транспонированная матрица обратной трансформации изменения базиса.
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
Расширение на вентиляторный луч или конусовый луч CT
Теорема о проекционных срезах применима к реконструкции КТ-изображений, полученных при параллельном пучковом сканировании. Она не применима напрямую к КТ с веерным или конусным пучком. Расширение теоремы на реконструкцию КТ-изображений с веерным и конусным пучком было выполнено Шуанжэнь Чжао в 1995 году.