Кіріспе
Математикадағы теорема
Математикада проекция кесіндісі теоремасы, орталық кесінді теоремасы немесе екі өлшемді Фурье кесіндісі теоремасы келесі екі есептеудің нәтижесінің тең екенін көрсетеді: Екі өлшемді функция f(r) болсын, оны (мысалы, Радон түрлендіруін қолдана отырып) бір өлшемді түзуге проекциялап, содан кейін осы проекцияның Фурье түрлендіруін жасаңыз. Сол функцияны алып, алдымен екі өлшемді Фурье түрлендіруін жасап, одан кейін проекция түзуіне параллель болатын нөлдік нүкте арқылы кесіңіз. Операторлар арқылы қарастырғанда, егер F1 және F2 жоғарыда аталған 1 және 2 өлшемді Фурье түрлендіру операторлары болса, P1 проекция операторы (2D функцияны 1D түзуге проекциялайды), S1 кесінді операторы (функциядан 1D орталық кесіндіні бөліп алады), онда
Take a two dimensional function f(r), project (e. g. using the Radon transform) it onto a (one dimensional) line, and do a Fourier transform of that projection. Take that same function, but do a two dimensional Fourier transform first, and then slice it through its origin, which is parallel to the projection line. In operator terms, if
F1 and F2 are the 1 and 2 dimensional Fourier transform operators mentioned above,
P1 is the projection operator (which projects a 2 D function onto a 1 D line),
S1 is a slice operator (which extracts a 1 D central slice from a function),
then
Бұл идеяны жоғары өлшемдерге кеңейтуге болады. Бұл теорема, мысалы, медициналық компьютерлік томография (КТ) сканерлерін талдау кезінде қолданылады, онда "проекция" – ішкі органның рентген суреті. Осы суреттердің Фурье түрлендірулері ішкі органның үш өлшемді тығыздығының Фурье түрлендіруі арқылы алынған кесінділер болып табылады, ал осы кесінділерді интерполяциялау арқылы осы тығыздықтың толық Фурье түрлендіруін құруға болады. Содан кейін нысанның үш өлшемді тығыздығын қалпына келтіру үшін кері Фурье түрлендіруі қолданылады. Бұл әдісті алғаш рет 1956 жылы Рональд Н. Брейсвелл радиоастрономия мәселесі үшін ұсынған.
CT scans where a "projection" is an x ray
image of an internal organ. The Fourier transforms of these images are
seen to be slices through the Fourier transform of the 3 dimensional
density of the internal organ, and these slices can be interpolated to build
up a complete Fourier transform of that density. The inverse Fourier transform
is then used to recover the 3 dimensional density of the object. This technique was first derived by Ronald N. Bracewell in 1956 for a radio astronomy problem.
Жалпыланған Фурье-бөлшек теоремасы
N өлшемге жалпылаудан басқа, проекция кесіндісі теоремасын кез келген негізді өзгерту арқылы одан әрі жалпылауға болады. Жазудың қолайлылығы үшін, негізді өзгертуді B матрицасымен белгілейміз, ол N өлшемді бағана векторларында әрекет ететін N x N инвертирленетін матрица. Онда жалпыланған Фурье кесіндісі теоремасын былай тұжырымдауға болады:
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
,
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
мұнда – негізді өзгерту түрлендірілімінің кері матрицасының транспозі.
where is the transpose of the inverse of the change of basis transform.
Кескіш сәулесі немесе конус сәулесі CT-ге ұзарту
Проекция кесіндісі теоремасы параллель сәуле проекцияларымен КТ суретін қайта құруға қолайлы. Ол тікелей түрде желтоқсанды немесе конус тәрізді КТ-ге қолданылмайды. Бұл теореманы 1995 жылы Шуан Рен Чжао желтоқсанды және конус тәрізді КТ суретін қайта құру үшін кеңейтті.